- 圆的方程
- 共2177题
（12分）如图所示，已知圆
（1）求曲线
（2）若直线
正确答案
解：（1）
所以
所以动点
曲线E的方程为
（2）设Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），则由
消去y得
又点
略
正确答案
∵圆心P在直线y = x上，∴可设P的坐标为（k，k），（k>0）
作PQ⊥AB于Q，连接AP，在Rt△APQ中，AQ=1，AP=r，PQ=k
∴r=
又r=点P到直线x + 2y-1= 0的距离
∴
整理，得
∵所求圆的半径为
∴所求圆的方程为：
已知ab≠0，点M（a，b）是圆Ox2+y2=r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r2，则直线l与直线m，⊙O之间的位置关系为______．
正确答案
由题意可得a2+b2＜r2，OM⊥m．
∵KOM=
故直线m的方程为 y-b=-
又直线l的方程是 ax+by-r2 =0，故m∥l．
圆心到直线l的距离为 
故答案为：m∥l，且l与圆相离．
若过点A（a，a）可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围是______．
正确答案
把圆的方程化为标准方程得：（x-a）2+y2=3-2a，
可得圆心P坐标为（a，0），半径r=
由题意可得点A在圆外，即|AP|=
即有a2＞3-2a，整理得：a2+2a-3＞0，即（a+3）（a-1）＞0，
解得：a＜-3或a＞1，又a＜
可得a＜-3或 1＜a＜
则实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（1，
故答案为：（-∞，-3）∪（1，
已知圆C的方程为x2+y2+ax-1=0，若A（1，2），B （2，1）两点一个在圆C的内部，一个在圆C的外部，则实数a的取值范围是______．
正确答案
圆C的方程为x2+y2+ax-1=0，若A（1，2），B （2，1）两点一个在圆C的内部，一个在圆C的外部，
则有（1+4+a-1）（4+1+2a-1）＜0，解得-4＜a＜-2．
故答案为：-4＜a＜-2．
若x02+y02+Dx0+Ey0+F＞0，则点P（x0，y0）在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的______．
正确答案
∵x2+y2+Dx0+Ey0+F＞0，
∴x02+y02+Dx0+Ey0+F
=(x0+
D
2
)2+(y0+
E
2
)2-
∴(x0+
D
2
)2+(y0+
E
2
)2＞
∴点P（x0，y0）在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的外部．
通过点A（0，a）的直线y=kx+a与圆（x-2）2+y2=1相交于不同的两点B、C，在线段BC上取一点P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，设点B在点C的左边，
（1）试用a和k表示P点的坐标；
（2）求k变化时P点的轨迹；
（3）证明不论a取何值时，上述轨迹恒过圆内的一定点．
正确答案
（1）设B（x1，y1），c（x2，y2），P（x，y），
依题意知，
∴
由直线方程代入圆方程，整理得，（1+k2）x2+（2ak-4）x+（a2+3）=0
由x1+x2=
得x=
（2）由x，y的表达式中消去k得2x-ay-3=0，
∴点P的轨迹是直线2x-ay-3=0在圆内的部分．…（8分）
（3）证明：直线2x-ay-3=0恒过定点M（
∴该点在圆内
∴P点的轨迹恒过圆内的一定点 …（10分）
过一点可以作______个圆，过两点可以作______个圆，过三点可以作______个圆．
正确答案
过一点可以作无数个圆，过两点可以作无数个圆，
当三点共线时，可以做出0个圆；当三点不共线时，过三点有且仅有一个圆．
故答案为：无数；无数；一个或无数．
点P（1，-2）和圆C：x2+y2+m2x+y+m2=0的位置关系是______．
正确答案
将点P（1，-2）代入圆的方程，得1+4+m2-2+m2=2m2+3＞0，∴点P在圆C外部，
故答案为 点在圆外．
点P（5a+1，12a）在圆（x-1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是______．
正确答案
由圆的方程得到圆心Q坐标为（1，0），半径r=1，
则|PQ|=
解得：-
故答案为：-
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