热门试卷

（Ⅰ）联立得：，

解得：，

∵所求直线与x-2y-1=0垂直，

∴可设所求直线的方程为2x+y+c=0，

把点P的坐标（-2，2）代入得 2×（-2）+2+c=0，即c=2，

则所求直线的方程为2x+y+2=0；

（Ⅱ）对于直线l：3x+4y-2=0，令x=0，得到y=；令y=0，得到x=，

可得直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是、，

∴直线l与两坐标轴围成的三角形的半径为（+-）=，圆心坐标为（，），

则直线l与两坐标轴围成三角形的内切圆方程为（x-）2+（y-）2=．

（1）∵点A和A1均在圆C上且关于直线l1对称，

∴圆心在直线l1上，由圆C的方程找出圆心C（m，n），

把圆心坐标直线l1，点A代入圆C方程得：

，解得或（与n＞0矛盾，舍去），

则圆C的方程为：（x-2）2+（y-2）2=4；

（2）当直线l2的斜率存在时，

设直线l2的方程为y=kx-2，由（1）得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，

根据题意得：圆心到直线的距离d==r=2，解得k=1，

所以直线l2的方程为y=x-2；

当直线l2的斜率不存在时，

易得另一条切线为x=0，

综上，直线l2的方程为y=x-2或x=0．

（Ⅰ）反证法：假设l1与l2不相交，

则l1与l2平行，有k1=k2，

代入k1k2+1=0，得k12+1=0，

这与k1为实数的事实相矛盾，

∴k1≠k2，

故l1与l2相交．

（Ⅱ）直线l1与l2的交点P（x，y）满足，

∴x≠0，从而，

代入k1k2+1=0，得•+1=0，

整理，得x2+y2=1，

∴直线l1与l2的交点在圆x2+y2=1上．

（1）由点Q为切点，可得PQ⊥OQ，

由勾股定理得：|PQ|2=|OP|2-|OQ|2，

又|PQ|=|PA|，

∴|PQ|2=|PA|2，即（a2+b2）-12=（a-2）2+（b-1）2，

化简得：2a+b-3=0，

则所求直线方程为2a+b-3=0；

（2）由2a+b-3=0，得b=-2a+3，

|PQ|====，

故当a=时，|PQ|min=，即线段PQ长的最小值为；

（3）设圆P的半径为R，Q为圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，

∴|R-1|≤|OP|≤R+1，即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1，

而|OP|===，

故当a=时，|OP|min=，此时b=-2a+3=，Rmin=-1，

则半径取最小值时圆P的方程为（x-）2+（y-）2=（-1）2．

（Ⅰ）AB边上的中点D（-1，1）

AB边上的中线|CD|=

CD所在的直线方程5x+3y+2=0

（Ⅱ）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

∴

解得D=-2，E=2，F=-8

∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2-2x+2y-8=0

即△ABC的外接圆的方程 （x-1）2+（y+1）2=10

（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y-3）2=9．

（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα-sinα）t-7=0．

由△=（2cosα-2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，

所以又直线l过点（1，2），

故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===≥=2．

所以|PA|+|PB|的最小值为2．

（Ⅰ）由题设知，圆C的方程为（x-t）2+（y-）2=t2+，化简得x2-2tx+y2-y=0，

当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B（0，），

∴S△AOB=|OA|•|OB|=×|2t|×||=4为定值；

（II）∵|OM|=|ON|，

∴原点O在MN的中垂线上，

设MN的中点为H，则CH⊥MN，

∴C、H、O三点共线，

则直线OC的斜率k===，

∴t=2或t=-2，

∴圆心C（2，1）或C（-2，-1），

∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5或（x-2）2+（y+1）2=5，

由于当圆方程为（x-2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去；

∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5；

（Ⅲ）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），

则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，

又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=-=3-=2，

∴|PB|+|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y=x，

则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（-，-）．

（ I）由题意圆O的半径r 等于原点O到直线x-y=4的距离，

即r==2，

∴圆的方程为x2+y2=4．

（ II）由x2=4，解得x=±2，不妨设A（-2，0），B（2，0）．

由|PO|2=|PA|•|PB|得•=x02+y02

整理得x02-y02=2．

令t=x02+y02=2y02+2=2(y02+1)；

∵点P（x0，y0）在圆O内，∴，由此得0≤y02＜1；

∴2≤2(y02+1)＜4，

∴t∈[2，4），∴(x02+y02)∈[2，4)．