热门试卷

（1）由f（x）=a x2+bx+1，所以f′（x）=2ax+b，

因为函数f（x）=a x2+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x﹣8，所以切点为（3，7）。

则，解得：a=1，b=﹣1。

所以f（x）=x2﹣x+1；

（2）由（1）知f（x）=x2﹣x+1，

关于x的方程f（x）=kex恰有两个不同的实根，

即x2﹣x+1=k•ex有两个不同的实根，也就是k=e﹣x（x2﹣x+1）有两个不同的实根。

令g（x）=e﹣x（x2﹣x+1），

则g′（x）=（2x﹣1）e﹣x﹣（x2﹣x+1）e﹣x

=﹣（x2﹣3x+2）e﹣x=﹣（x﹣1）（x﹣2）e﹣x

由g′（x）=0，得x1=1，x2=2。

所以当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，1）上为减函数；

当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上为增函数；

当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）上为减函数；

所以，当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=，当x=2时函数取得极大值g（2）=。

函数y=k与y=g（x）的图象的大致形状如下，

由图象可知，当k=和时，关于x的方程f（x）=kex恰有两个不同的实根；

（3）由2a1=f（2）=22﹣2+1=3，所以＞1，=。

又＞0，

所以an+1＞an＞1。

又，所以an+1﹣1=an（an﹣1），

则，即。

所以

=

===2＜2。

又S=。

故的整数部分等于1。

（1）由题意可知,.

当时,,

当时,也满足上式,

所以.…………………………………………………………3分

（2）由（1）可知,即.

当时,,………①

当时,,所以,………②

当时,,………③

当时,,所以,………④

……

当时(为偶数),,所以………

以上个式子相加,得

.

又,所以,当为偶数时,.

同理,当为奇数时,,

所以,当为奇数时,.……………………………………………6分

因此,当为偶数时,数列的前项和

;

当为奇数时,数列的前项和

.

故数列的前项和.…………………………8分

（3）由（2）可知

①当为偶数时,,

所以随的增大而减小,从而,当为偶数时,的最大值是.

②当为奇数时,,

所以随的增大而增大,且.

综上,的最大值是1.

因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,

故实数的取值范围是.………………………………………………13分

（1）

。--------------------------------------------------------------------------------------------------------（3分）

（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，

则由

（常数）知第行的数也依次成等差数列，且其公差为.综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；------------（7分）

由于，所以，所以

，由，

得，                                            （9分）

于是 ，

即，又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，，所以（）。                                                       （12分）

（3） ，

，

令，-----------------（14分）

。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------（15分）

，

，

，

令，则当时，都有，

适合题设的一个等比数列为。

（1）∵f（x）=（a＞0），a1=3a，an+1=f（an），

∴a2=f（a1）==a。

由bn=得b1=，b2=…2分

（2）∵an+1=，bn=，

∴bn+1====…4分

又b1=，故对一切正整数n，都有bn＞0，

∴lgbn+1=2lgbn，

又lgb1=lg=﹣lg2≠0，

∴{lgbn}是以2为公比，首项为﹣lg2的等比数列。

故lgbn=（﹣lg2）×2n﹣1=lg

∴bn=

（3）由（2）得Tn=+++…+，

当n≤3时，Tn≤++=＜；

当n＞3时，Tn=+++…+=+[++…+]，

又当n＞3时，2n﹣1=（1+1）n﹣1＞1++＞1+（n﹣1）+1=n+1，

∴Tn＜+[++…+]

=+

=+[1﹣]＜+=

综上，Tn＜

（1）因为，，所以（），　   　…………………（１分）

所以，，

，　　　　…………………………………（2分）

即数列是首项为，公比为的等比数列，  …………………………（3分）

所以。    ………………………………………………………（4分）

（2）解法一：，  ……………………………………（1分）

因为，所以，，

猜测：（）。  ……………………………………………………（2分）

用数学归纳法证明：

①当时，，结论成立；     ………………………………………（3分）

②假设当（）时结论成立，即，那么当时，，即时结论也成立。 …………………（5分）

由①，②得，当时，恒成立，即恒为定值，…………（6分）

解法二：，       ……………………………………（1分）

所以，………………………………（4分）

而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值，………………………………………………………………………（6分）

（3）由（1）、（2）知，所以，…………（1分）

所以，

所以，  …………………………………………（2分）

由得，

因为，所以， ……………………（3分）

当为奇数时，随的增大而递增，且，

当为偶数时，随的增大而递减，且，

所以，的最大值为，的最小值为。   …………………（4分）

由，得，解得。 …………（6分）

所以，所求实数的取值范围是

解：⑴，、、总成等差数列，

所以，=（）+（）

因为，所以=（）+（），

即

又因为，，，，

所以数列是首项等于1，公比=3的等比数列

，即

⑵由⑴得，

时，，所以，任意，

任意，由，即…

（，

可取、、 ，所以

（1）由an+2=p•得=p•

令cn=，则c1=a，cn+1=pcn。

∵a≠0，

∴c1≠0，故=p（非零常数），

数列是等比数列

（2）∵数列{cn}是首项为a，公比为p的等比数列，

∴cn=c1•pn﹣1=a•pn﹣1，

即=apn﹣1，

当n≥2时，an=•…•a1=（apn﹣2）×（apn﹣3）×…×（ap0）×1=an﹣1，

∵a1满足上式，

∴an=an﹣1，n∈N*，

（3）∵=•=（apn）×（a•pn﹣1）=a2p2n﹣1，

∴当a=1时，bn==np2n﹣1。

∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n﹣1，①

p2Sn=1×p3+…+（n﹣1）p2n﹣1+n×p2n+1②

∴当p2≠1，即p≠±1时，①﹣②得：（1﹣p2）Sn=p1+p3+…+p2n﹣1﹣np2n+1，