热门试卷

等差数列与等比数列。

（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；

（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；

（3）利用（2）的结论，令x0=，则ex＞x2＞x，即x＜cex，即得结论成立。

（1），

由已知得    解得，

∴ 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为，

∴ 切线的方程为

（2）由条件知

∴

（ⅰ）当a>0时，令，解得，

∴ 当时，在上递减；

当时，在上递增

∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点

∴最小值

（ⅱ）当时，在上递增，无最小值，

故的最小值的解析式为

（3）由（2）知

对任意的

               ①

         ②

        ③

故由①②③得

证明：∵，

由题设∴。∴。  

（1）f(x)的反函数为g(x)＝ln x.

设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x的图像在P(x0，y0)处相切，

则有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝，

解得x0＝e2，.

（2）

曲线y＝ex与y＝mx2的公共点个数等于曲线与y＝m的公共点个数。

令，则，

∴φ′(2)＝0.

当x∈(0,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(0,2)上单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，

∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为.

当0＜m＜时，曲线与y＝m无公共点；

当时，曲线与y＝m恰有一个公共点；

当时，在区间(0,2)内存在，使得φ(x1)＞m，在(2，＋∞)内存在x2＝me2，使得φ(x2)＞m.由φ(x)的单调性知，曲线与y＝m在(0，＋∞)上恰有两个公共点。

综上所述，当x＞0时，

若0＜m＜，曲线y＝f(x)与y＝mx2没有公共点；

若，曲线y＝f(x)与y＝mx2有一个公共点；

若，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点。

（3）解法一：可以证明.

事实上，

(b＞a)，(*)

令(x≥0)，

则(仅当x＝0时等号成立)，

∴ψ(x)在[0，＋∞)上单调递增，

∴x＞0时，ψ(x)＞ψ(0)＝0.

令x＝b－a，即得(*)式，结论得证。

解法二：

＝

＝[(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2]，

设函数u(x)＝xex＋x－2ex＋2(x≥0)，

则u′(x)＝ex＋xex＋1－2ex，

令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝ex＋ex＋xex－2ex＝xex≥0(仅当x＝0时等号成立)，

∴u′(x)单调递增，

∴当x＞0时，u′(x)＞u′(0)＝0，

∴u(x)单调递增。

当x＞0时，u(x)＞u(0)＝0.

令x＝b－a，则得(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2＞0，

∴，

因此，

（1）因为，且，所以，且

解得，又因为，所以

（2）因为

当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为

（1）解：由题意，得，其中… 2分

所以 ，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为.  …………… 4分

（2）解：先考察函数，的图象， 配方得，……………… 5分

所以函数在上单调递增，在单调递减，且.……………… 6分

因为对于任意，且，都有成立，    所以 .……………… 8分

以下考察函数，的图象，则 ，令，解得.……… 9分

随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递减，在上单调递增，且… 11分

因为对于任意，且，都有成立， 所以 .  …… 12分

因为 （即）， 所以的取值范围为.…………… 13分