热门试卷

（I）解法一：设A，B两点坐标分别为(，y1)，(，y2)，

由题设知==

解得y12=y22=12，

所以A(6，2)，B(6，-2)或A(6，-2)，B(6，2)．

设圆心C的坐标为（r，0），则r=×6=4，

所以圆C的方程为（x-4）2+y2=16．

解法二：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知x12+y12=x22+y22

又因为y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即（x1-x2）（x1+x2+2）=0

由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上

设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为(r，r)，于是有(

3

2

r)2=2×r，

解得r=4，

所以圆C的方程为（x-4）2+y2=16．

（II）设∠ECF=2α，则•=||•||•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．

在Rt△PCE中，cosα==，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，

所以≤cosα≤，由此可得-8≤•≤-．

则•的最大值为-，最小值为-8．

（1）依题意，圆M的半径等于圆心M（-1，0）到直线x-y-3=0的距离，

即r==2．（4分）

∴圆M的方程为（x+1）2+y2=4．（6分）

（2）设P（x，y），由|PA|•|PB|=|PO|2，

得•=x2+y2，

即x2-y2=2．（9分）

•=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=y2+x2-4=2(y2-1)（11分）

∵点在圆M内，

∴（x+1）2+y2＜4，而x2-y2=2

∴＜x＜，

⇒0≤y2＜1+⇒-1≤y2-1＜，

∴•的取值范围为[-2，）．（14分）

（Ⅰ）设圆C的方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）（1分）

则，解得

∴圆C的方程x2+y2-2x-2y+1=0，化成标准形式得（x-1）2+（y-1）2=（15分）

（Ⅱ）设直线l：y=kx，M（x1，y1），N（x2，y2），G（x0，y0）

由，消y得（1+k2）x2-2（k+1）x+1=0（7分）

由题意得△=4（1+k）2-4（1+k2）＞0，解出k＞0（8分）

x1+x2=，即x0=，y0=

∴点G(，)

又∵=(1，1)（9分）

∴•=+==1+=1+

∵≤=1，∴•=1+≤2（13分）

因此，可得当k=即k=1时，•取得最大值是2（13分）

此时直线l的方程为y=x（14分）

（1）设椭圆的标准方程为m我g+nyg=1，依题意可得，可得m=，n=1，

所以，所求椭圆的标准方程为+yg=1．（小分）

因为圆的圆心C和椭圆的右焦点重合，圆的半径恰为椭圆的短半轴长，

故园的标准方程为（我-g）g+yg=1．（5分）

（g）由（1）得圆心C（1，g），所以，而我g+yg-4我+小=0，则我^+yg=4我-小，

所以•+g|-|=g我+1，（7分）

而（我-g）g+yg=1，则（我-g）g≤1，即-1≤我-g≤1，即1≤我≤小，

因此，从而•+g|-|（O为坐标原点）的取值范围为[小，7]．（10分）

（小）我g+yg表示圆上点P（我，y）与坐标原点O的距离的平方，因为原点O到圆心C（g，0）的距离为g，

圆的半径为1，所以P（我，y）与坐标原点O的距离的最小值为g-1=1，

与坐标原点O的距离的最大值为g+1=小，故我g+yg的最大值为9，最小值1．（14分）

（Ⅰ）AB的中垂线方程为y=x-4…（1分）   

联立方程解得即圆心坐标（6，0）…（1分）

半径为（4，0）与（6，0）的距离即2

故圆的方程为（x-6）2+y2=4…（3分）

（Ⅱ）由直线y=kx+2与圆相交，得圆心C到直线的距离小于半径

∴＜2⇒-＜k＜0…（7分）

（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），

+=(x1+x2，y1+y2)，=(6，-2)

因为+与共线，

所以6(y1+y2)+2(x1+x2)=0⇒(3k+1)(x1+x2)+12=0⇒k=-

由第（Ⅱ）问可知，直线不存在．

（Ⅰ）：由=t+(1-t)(t∈R)

知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，

故点C的轨迹方程是：y+3=(x-1)即y=x-4（3分）

（Ⅱ）由⇒(x-4)2=4x⇒x2-12x+16=0（5分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1x2=16x1+x2=12（6分）

∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16（8分）

∴x1x2+y1y2=0故⊥（10分）

（Ⅲ）∵x1+x2=12，∴y1+y2=x1+x2-8=12-8=4

∴AB的中点C的坐标为（6，2）．

又∵⊥，∴|OC|=2为圆的半径．

∴所求圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=40（14分）

（1）设AB的中点坐标为（x，y），

由题意可知a=2x，b=2y，直线l的方程为 +=1，即bx+ay-ab=0．

曲线C的方程可化为（x-1）2+（y-1）2=1，

所以曲线C为圆．

圆心到直线l的距离 d=，

当d=1时，直线与圆相切，

即 =1，整理得（a-2）（b-2）=2，

线段AB中点的轨迹方程为：（x-1）（y-1）=1，x＞1，y＞1．

（2）由（1）得到（a-2）（b-2）=2且a＞2，b＞2，

所以ab=2（a+b）-2≥4 -2，当且仅当a=b时取等号，

所以当a=b时，ab最小即三角形的面积最小，则三角形AOB为等腰直角三角形

则ab=4+6，此时a=b==+2，

所以ab的最小值为：4+6．

由题意可得 x+y=cosθ+sinθ+1=sin(θ+)+1，

要使x+y+c＞0恒成立，需 c＞-sin(θ+)-1恒成立，

故 c 大于-sin(θ+)-1的最大值．

而-sin(θ+)-1的最大值为-1，故c＞-1，

故实数c的取值范围为（-1，+∞）．