- 圆的方程
- 共2177题
已知：△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD所在直线的方程是x+y=0，边AC上的高BE所在直线的方程是x+3y+4=0．
（1）求点B、C的坐标； （2）求△ABC的外接圆的方程．
正确答案
（1）由题意得直线BE的斜率为-
联立
设B（a，b），代入BE：x+3y+4=0，则AB中点D(
得
所以B（-4，0）；
（2）设圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
A，B，C三点代入得：
解得
所以圆方程为x2+y2+
设A（xA，yA），B（xB，yB）为平面直角坐标系上的两点，其中xA，yA，BxB，yB∈Z．令△x=xB-xA，△y=yB-yA，若|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．
（Ⅰ）请问：点（0，0）的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；
（Ⅱ）已知点H（9，3），L（5，3），若点M满足M=i（H），L=i（M），求点M的坐标；
（Ⅲ）已知P0（x0，y0）（x0∈Z，Y0∈Z）为一个定点，点列{Pi}满足：Pi=i（Pi-1），其中i=1，2，3，…，n，求|P0Pn|的最小值．
正确答案
（I）因为|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，|△x|与|△y|为非零整数，
故|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，所以点（0，0）的“相关点”有8个，
分别为：（1，2）、（1，-2）、（-1，2）、（-1，-2）、（2，1）、（2，-1）、
（-2，1）、（-2，-1）．…（1分）
又因为 （△x）2+（△y）2=5，即(xi-0)2+(yi-0)2=5，
所以，这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以
（II）设M（xM，yM），因为M=i（H），L=i（M），
所以有|xM-9|+|yM-3|=3，|xM-5|+|yM-3|=3，…（5分）
所以|xM-9|=|xM-5|，所以xM=7，故yM=2 或 yM=4，
所以M（7，2），或M（7，4）．…（7分）
（III）当n=2k，且 k∈N* 时，|P0Pn|的最小值为0．例如：P0（x0，y0 ），
P1 （x0+1，y0 ），P2（（x0，y0 ），显然，P0=i（P1），P1=i（P2），此时，|P0P2|=0．…（8分）
当n=1时，可知，|P0Pn|的最小值为 
当n=3 时，对于点P，按照下面的方法选择“相关点”，可得P3（x0，y0+1）：
由P0（x0，y0 ），依次找出“相关点”分别为P1（x0+2，y0+1），P2（x0+1，y0+3），P3（x0，y0+1）．
此时，|P0P3|=1，故|P0Pn|的最小值为1．…（11分）
然后经过3次变换回到P3（x0，y0+1），故|P0Pn|的最小值为1．
当n=2k+1，k＞1，k∈N* 时，经过2k次变换回到初始点P0（x0，y0 ），
故经过2k+1次变换回到P3（x0，y0+1），故|P0Pn|的最小值为1．
综上，当 n=1 时，|P0Pn|的最小值为
当当n=2k，k∈N* 时，|P0Pn|的最小值为0，
当n=2k+1，k∈N* 时，|P0Pn|的最小值为1． …（13分）
若点（x，y）满足（x-3）2+（y-3）2=2，则
正确答案
∵点（x，y）满足（x-3）2+（y-3）2=2，
∴点（x，y）的轨迹是以C（3，3）为圆心，
∵
∴
故答案为：4
过点（0，6）且与圆c1：x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆c2，设圆c1的圆心为点o1，圆c2的圆心为o2
（1）把圆c1：x2+y2+10x+10y=0化为圆的标准方程；
（2）求圆c2的标准方程；
（3）点o2到圆c1上的最大的距离．
正确答案
（1）方程x2+y2+10x+10y=0可化为（x+5）2+（y+5）2=50
（2）设圆c2的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2
∵圆c1与圆c2相切于点o∴点o1、o、o2三点共线
∴点o1、o、o2三点共线的斜率k=
∴设点o2的坐标为（a，a），即a=b
∴点（0，6）、点（0，0）在圆c2上
∴（0-a）2+（6-a）2=r2
（0-a）2+（0-a）2=r2
∴a=b=3，r=3
∴圆c2：（x-3）2+（y-3）2=18
（3）设点P（x0，y0）是点o2到圆c1上最大的距离的点，
则点P在点o、o2所在直线y=x上
解得
∴点P（-10，-10）∴|po2|=
若直线3x-4y+12=0与两会标轴交点为A、B，则以线段AB为直径的圆的方程是 ．
正确答案
由题意可得，A（0，3）B（-4，0）
AB的中点（-2，
以线段AB为直径的圆的方程(x+2)2+(y-
3
2
)2=
整理可得，x2+y2+4x-3y=0
故答案为：x2+y2+4x-3y=0
已知点M（1，0）是圆C：x2+y2-4x-2y=0内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是______．
正确答案
最短的弦与CM垂直，圆C：x2+y2-4x-2y=0的圆心为C（2，1），
∵kCM=
∴最短弦的方程为y-0=-1（x-1），即x+y-1=0．
若一三角形三边所在的直线方程分别为x+2y-5=0，y-2=0，x+y-4=0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为______．
正确答案
∵三角形三边所在的直线方程分别为x+2y-5=0，y-2=0，x+y-4=0，
∴可得三角形的三个顶点分别是（1，2），（2，2），（3，1）
能够覆盖此三角形且面积最小是三角形的外接圆，设方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
∴能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为x2+y2-3x-y=0
故答案为：x2+y2-3x-y=0
以直线x+2y-1=0和直线2x-y+3=0的交点为圆心，且圆过点P（2，1），求此圆的标准方程．
正确答案
∴圆的圆心为（-1，1），
∴圆的半径为
∴圆的标准方程为（x+1）2+（y-1）2=9
已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于
（1）求圆C的方程；
（2）若圆心在第一象限，点P是圆C上的一个动点，求x2+y2的取值范围．
正确答案
（1）根据题意设出圆心C坐标为（a，a），半径r=|a|，
∴圆心C到直线y=-x的距离d=
若圆x2+y2=4上存在与点（2a，a+3）距离为1的点，则a的取值范围为______．
正确答案
由题意得，点（2a，a+3）到圆心（0，0）的距离大于或等于1小于或等于3，
即 1≤
∴9≥5a2+6a≥-8，解得-
故答案为[-
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