- 圆的方程
- 共2177题
已知A（-2，0），B（2，0），点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是______．
正确答案
∵点A（-2，0），B（2，0），
设P（a，b），则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8，
由点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上运动，
（a-3）2+（b-4）2=4
令a=3+2cosα，b=4+2sinα，
所以|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8
=2（3+2cosα）2+2（4+2sinα）2+8
=66+24cosα+32sinα
=66+40sin（α+φ），（tanφ=
所以|PA|2+|PB|2≥26．当且仅当sin（α+φ）=-1时，取得最小值．
∴|PA|2+|PB|2的最小值为26．
故答案为：26．
已知圆E经过点A（2，-3）、B（-2，-5），且圆心在直线x-2y-3=0上．
（1）求圆E的方程；
（2）若直线x+y+m=0与圆E交于P、Q两点，且 EP⊥EQ，求m的值．
正确答案
（1）∵圆心E在直线x-2y-3=0，可设圆心E（2b+3，b ）．
由|EA|=|EB|可得 
平方化简可得 5b2+10b+10=5b2+30b+30，
解得 b=-2，故点E（-1，-2）．
由两点间距离公式得r2 =|EA|2=10，
所以，圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=10．
（2）由题意可得△EPQ为等腰直角三角形，EP=EQ=r=
设圆心到直线PQ的距离为d，可得 d=
再由点E（-1，-2），PQ的方程为x+y+m=0，故有 
解得m=3±
已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1的倾斜角为
（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．
正确答案
以点（-3，4）为圆心且与直线x+y=5相切的圆的标准方程是 ______．
正确答案
由圆心到直线的距离r=
所以圆的方程为（x+3）2+（y-4）2=8．
故答案为（x+3）2+（y-4）2=8．
已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线
正确答案
把圆M的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-2）2=4，
得到圆心M的坐标为（1，2），
由直线的参数方程化为普通方程得：3x-4y-5=0，
则圆心M到直线的距离d=
故答案为：2
已知直线5x-12y+a=0与圆x2-2x+y2=0相切，则a的值为______．
正确答案
圆的方程可化为（x-1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，
由已知可得
所以a的值为-18或8．
故答案为：-18；8
已知圆C（x-a）2+（y-b）2=8（ab＞0）过坐标原点，则圆心C到直线l：
正确答案
∵圆C（x-a）2+（y-b）2=8（ab＞0）过坐标原点，
∴a2+b2=8≥2ab
∴ab≤4
又∵圆心C（a，b）到直线l：
d=
故圆心C到直线l：
故答案为：
光线从A（1，0）出发经y轴反射后到达x2+y2-6x-6y+17=0所走过的最短路程为______．
正确答案
找出A（1，0）关于直线x=0对称点 M（-1，0）
光线与y轴交点为P，所以有|PA|=|PM|，
最短路程等于M到原心的距离减去半径．
由x2+y2-6x-6y+17=0，得（x-3）2+（y-3）2=1．
所以圆的半径为2，圆心为C（3，3）
MC的距离为
所以最短路程为5-1=4．
故答案为4．
已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，且OA⊥OB，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．
（1）证明：圆C是以线段AB为直径的圆；
（2）当圆心C到直线x-2y=0的距离的最小值为
正确答案
（1）证明：因为OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
展开上式并将 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0
故圆C是以线段AB为直径的圆；
（2）设圆C的圆心为C（x，y），
则x=
∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），
∴x1x2=
又∵x1x2+y1y2=0
∴x1x2=-y1y2
∴-y1y2=
∴y1y2=-4p2
∴x=
=
=
∴圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，则d=
∴当y=p时，d有最小值
∴
∴p=5．
正方形ABCD的中心为（3，0），AB所在直线的方程为x-2y+2=0，则正方形ABCD的外接圆的方程为______．
正确答案
由题意，正方形ABCD的外接圆的圆心为（3，0），
∵（3，0）到直线AB的距离为
∴圆的半径为
∴正方形ABCD的外接圆的方程为（x-3）2+y2=10
故答案为：（x-3）2+y2=10．
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