热门试卷

（1）   （2）

设所求圆的方程为，

即．

（１）此圆过原点，，，故所求圆的方程为．

（２）将圆系方程化为标准式：

．

要使其面积最小，必须圆的半径取最小值，此时．

即满足条件的圆的方程为

（1）由题意可知解得

所以椭圆C1的方程是+=1．

（2）∵|MP|=|MF2|，∴动点M到定直线l1：x=-1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，

所以点M的轨迹C2的方程y2=4x．

（3）∵以OS为直径的圆C2相交于点R，∴以∠ORS=90°，即•=0．

设S （x1，y1），R（x2，y2），=(x2-x1，y2-y1)，=(x2，y2)．

∴•=x2（x2-x1）+y2（y2-y1）=+y2(y2-y1)=0，

∵y1≠y2，y2≠0，化简得y1=-(y2+)，

∴=++32≥2+32=64，

当且仅当=，即=16，y2=±4时等号成立．

圆的直径|OS|====，

∵≥64，∴当=64，y1=±8，|OS|min=8，

所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）．

（Ⅰ）动点的轨迹的方程为；（Ⅱ）直线与圆相切．

试题分析：（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程，由题意首先求出椭圆的方程为，设，，由已知，找出与之间的关系，利用点在椭圆上，代入即可求出动点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）判断直线CD与曲线E的位置关系，由（Ⅰ）动点的轨迹的方程为，主要看圆心到直线距离与半径之间的关系，因此，主要找直线的方程，设，则，由题意三点共线，得 ∥，设点的坐标为，利用共线，求出，得点的坐标为，从而得点的坐标为，这样写出直线的方程，利用点到直线位置关系，从而可判断直线CD与曲线E的位置关系．

试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1，，

∴，，所以椭圆的方程为。（2分）

设，，由题意得，即

又，代入得，即。

即动点的轨迹的方程为。（6分）

（Ⅱ）设，点的坐标为，

∵三点共线，∴ ∥，

而，，则，∴，

∴点的坐标为，点的坐标为，

∴直线的斜率为，（9分）

而，∴，∴，

∴直线的方程为，化简得，

∴圆心到直线的距离，

所以直线与圆相切。（13分）

(1) (2)(3)存在,

试题分析：

(1)根据圆的一般式可知, ,可得范围;

(2)将(1)中圆变形为标准方程,可知存在于半径中,所以根据圆中 ,先求出圆心到直线的距离,即可求半径得.

(3)假设存在,则有,设出两点坐标,可得.根据直线与圆的位置关系是相交,所以联立后首先根据初步判断的范围,而后利用根与系数的关系用表示出,将其带入解之,如有解且在的范围内,则存在,否则不存在.

（1）由，得.

（2），即，

所以圆心,半径，

圆心到直线的距离.

又,在圆中

，即，．

（3）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，所以.

设，则有,即.

由得，

，即，又由（1）知，

故

根据根与系数的关系知:

,

故存在实数使得以为直径的圆过原点，的使用.

(1)见解析   (2)64  (3) O,G,H三点必定共线，理由见解析

(1)方法一:由题意,原点O必定在圆M内,即点(0,0)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边所得的值小于0,于是有F<0,即证.

方法二:由题意,不难发现A,C两点分别在x轴正、负半轴上.设两点坐标分别为A(a,0),C(c,0),则有ac<0.对于圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当y=0时,可得x2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标,于是有xAxC=ac=F.

因为ac<0,故F<0.

(2)不难发现,对角线互相垂直的四边形ABCD的面积S=,因为S=8,|AC|=2,可得|BD|=8.

又因为·=0,所以∠BAD为直角,又因为四边形是圆M的内接四边形,故|BD|=2r=8⇒r=4.

对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆,

可知+-F=r2,所以D2+E2-4F=4r2=64.

(3)设四边形四个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).

则可得点G的坐标为(,),即=(,).

又=(-a,b),且AB⊥OH,故要使G,O,H三点共线,只需证·=0即可.

而·=,且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,

当y=0时可得x2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标,

于是有xAxC=ac=F.

同理,当x=0时,可得y2+Ey+F=0,其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标,于是有yByD=bd=F.

所以·==0,即AB⊥OG.

故O,G,H三点必定共线.

设所求的圆为C，

∵圆C经过圆x2+y2-2x+2y+1=0与圆x2+y2+4x-2y-4=0的交点，

∴设圆C方程为x2+y2-2x+2y+1+λ（x2+y2+4x-2y-4）=0，

化简得x2+y2+x+y+=0，可得圆心坐标为C（-，-）．

∵圆心在直线：x-2y-5=0上，

∴--2（-）-5=0，解之得λ=-．

因此，圆C的方程为x2+y2-x+y+=0，即为所求圆的方程．

（1）设圆C的圆心为C（a，b），则圆C的方程为：（x-a）2+（y-b）2=8

∵直线y=x与圆C相切于坐标原点O，∴点O在圆C上，且直线OC垂直于直线y=x

于是有，

解得或，

由圆心C在第二象限得a=-2，b=2，所以圆C的方程为（x+2）2+（y-2）2=8．

（2）由|DA|=|DB|知点D为弦AB的中点，由垂径定理知CD⊥AB，

∵KCD==2，

∴KAB=-，

∵直线l过点D（-3，0），

∴直线l的方程为：y=-(x+3)，

即：x+2y+3=0．