圆的方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

经过点M（2，1），并且与圆x2+y2-6x-8y+24=0相切的直线方程是______．

正确答案

圆x2+y2-6x-8y+24=0化为标准方程为（x-3）2+（y-4）2=1，圆心（3，4），半径R=1

当斜率不存在时，x=2是圆的切线，满足题意；

斜率存在时，设方程为y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0

∴由圆心到直线距离d=R，可得=1

∴k=，∴直线方程为4x-3y-5=0

综上，所求切线方程为x=2或4x-3y-5=0

故答案为：x=2或4x-3y-5=0

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题型：填空题

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填空题

圆x2+y2+8x-10y+41=r2与x轴相切，则此圆截y轴所得的弦长为______．

正确答案

将圆化成标准方程，得（x+4）2+（y-5）2=r2圆心为C（-4，5），半径为r，其中r＞0

∵圆x2+y2+8x-10y+41=r2与x轴相切，

∴点C到x轴的距离d=5=r

可得，圆C方程为（x+4）2+（y-5）2=25

再令x=0，得y2-10y+16=0

解之，得y1=2，y2=8，

∴圆截y轴所得的弦长为|y1-y2|=6

故答案为：6

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题型：简答题

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简答题

求曲线方程

（Ⅰ）圆C的圆心在x轴上，并且过点A（-1，1）和B（1，3），求圆C的方程；

（Ⅱ）若一动圆P过定点A（1，0）且过定圆Q：（x+1）2+y2=16相切，求动圆圆心P的轨迹方程．

正确答案

（Ⅰ）因为圆C的圆心在X轴上，故设方程为：（x-a）2+y2=r2，

点A（-1，1）和B（1，3）代入方程可得，∴a=2，r2=10

∴圆C的方程为（x-2）2+y2=10；

（Ⅱ）由题意两圆内切，因此动圆圆心到两定点A（1，0）和（-1，0）的距离之和为已知圆的半径4（定值），所以符合椭圆的定义，且a=2，c=1，

∴b2=a2-c2=3

∴所求动圆的轨迹方程为+=1．

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题型：简答题

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简答题

21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）

（1）几何证明选讲

AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC

（2）矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值

（3）参数方程与极坐标

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值

（4）不等式证明选讲

已知实数a,b≥0，求证：

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

（1）（选修4—4坐标系与参数方程）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是 .

（2）（选修4—5 不等式选讲）已知，则满足不等式的实数的范围是 .

（3）(选修4—1 几何证明选讲）如图，两个等圆⊙与⊙外切，过作⊙的两条切线是切点，点在圆上且不与点重合，则= .

正确答案

（1）；（2）；（3）或

略

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题型：简答题

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简答题

已知圆O的圆心在y轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线l2：3x-4y+37=0相切，求圆O的方程．

正确答案

设圆心M（0，b），半径R．圆M交L1于AB两点．AB=8，

做MN⊥L1，交L1于N点．则N平分AB． AN=4，

连AM，则AM=R．

|MN|==，

|AN|2+|MN|2=R2=16+，

点M到直线L2距离d=R（圆M与直线L2相切），

d2=R2=，

∴16+=，

16×25=（37-3b+4b+3）（37-4b-4b-3），

8b=34-16×=24，

b=3，

R2==25，

∴圆M的方程为：x2+（y-3）2=25．

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题型：简答题

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简答题

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与椭圆E：+=1(a＞b＞0)有一个公共点A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．

（1）求圆C的标准方程

（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由．

正确答案

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题型：简答题

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简答题

一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程．

正确答案

因圆与y轴相切，且圆心在直线x-3y=0上，故设圆方程为（x-3b）2+（y-b）2=9b2．

又因为直线y=x截圆得弦长为2，

则有（）2+（）2=9b2，

解得b=±1．故所求圆方程为

（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．

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题型：填空题

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填空题

已知圆C的圆心坐标为（2，-3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则圆C的标准方程为______．

正确答案

设直径的两个端点分别A（a，0）B（0，b）．圆心C为点（2，-3），

由中点坐标公式得，a=4，b=-6，

∴r=|AB|==，

则此圆的方程是（x-2）2+（y+3）2=13．

故答案为：（x-2）2+（y+3）2=13．

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题型：简答题

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简答题

已知圆C的圆心与点P（-2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，求圆C的方程．

正确答案

设圆心坐标C（a，b），

由圆心C与点P关于直线y=x+1对称，得到直线CP与y=x+1垂直，

结合y=x+1的斜率为1得直线CP的斜率为-1，所以=-1，化简得a+b+1=0①，

再由CP的中点在直线y=x+1上，得到=+1，化简得a-b-1=0②

联解①②，可得a=0，b=-1，

∴圆心C的坐标为（0，-1），可得圆心C到直线AB的距离d==3，

又∵|AB|=3，

∴根据勾股定理，得r满足：r2=d2+（|AB|）=18，

因此，圆C的方程为x2+（y+1）2=18．

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