热门试卷

（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，

由，消y得x2-4kx+4=0，（1）

令△=（4k）2-4×4=0，解得：k=±1，

代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1），

设圆心P的坐标为（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1，

故过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y-1）2=4；    

（Ⅱ）证明：设M（x0，-1），由已知得y=，y′=x，

设切点分别为A（x1，），B（x2，），

∴kMA=，kMB=，

切线MA的方程为y-=（x-x1），即y=x1x-x12，

切线MB的方程为y-=（x-x2），即y=x2x-x22，

又因为切线MA过点M（x0，-1），

所以得-1=x0x1-x12，①

又因为切线MB也过点M（x0，-1），

所以得-1=x0x2-x22，②

所以x1，x2是方程-1=x0x-x2的两实根，

由韦达定理得x1+x2=2x0，x1x2=-4，

因为=（x1-x0，+1），=（x2-x0，+1），

所以•=（x1-x0）（x2-x0）+（+1）（+1）

=x1x2-x0（x1+x2）+x02++（x12+x22）+1

=x1x2-x0（x1+x2）+x02++[（x1+x2）2-2x1x2]+1，

将x1+x2=2x0，x1x2=-4代入，得•=0，

则以AB为直径的圆恒过点M．

（1）；（2）.

试题分析：（1）先联立直线的中垂线方程与直线方程，求出交点的坐标即圆心的坐标，然后再计算出，最后就可写出圆的标准方程；（2）求过点的圆的切线方程问题，先判断点在圆上还是在圆外，若点在圆上，则所求直线的斜率为，由点斜式即可写出切线的方程，若点在圆外，则可设切线方程为（此时注意验证斜率不存在的情形），然后由圆心到切线的距离等于半径，求出即可求出切线的方程.

试题解析：（1）因为圆与轴交于两点,,所以圆心在直线上

由得即圆心的坐标为      2分

半径

所以圆的方程为      4分

（2）由坐标可知点在圆上，由，可知切线的斜率为      6分

故过点的圆的切线方程为      8分.

（1）法一设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

因为圆M过A，B，C，

所以（4分）

解得D=E=0，F=-4，故圆M方程为x2+y2=4．（6分）

解法二：由题意知A(-2，0)，B(2，0)，C(1，)，

所以KAC=，KBC=-，则KAC•KBC=-1

所以AC⊥BC，所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，（4分）

所以外接圆M以原点O为圆心，线段AB为直径，故其方程为x2+y2=4．（6分）

（2）直线PQ与圆M相切．

下证明这个结论：由椭圆E的方程+=1，可知F(，0)，（8分）

设P（x0，y0）（x0≠±2），则y02=4-x02．

当x0=2时，P(，±)，Q(2，0)，KOP=1，KPQ=-1，

所以OP⊥PQ所以直线PQ与圆M相切．（10分）

当x0≠6时，kFP=，kOQ=-7，

所以直线OQ的方程为y=-x，因此，

点Q的坐标为(2，-)，

所以kPQ=-，（12分）

所以当x0=0时，kPQ=0，OP⊥PQ，直线PQ始终与圆M相切；

当x0≠0时，kPQ•kOP=-1，OP⊥PQ，直线PQ始终与圆M相切．

综上，当x0≠±2时，总有OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆M相切．（16分）

由题意可得：设圆心O1的坐标为（ x0，3x0），半径为r（r＞0），（2分）

因为圆与直线y=x相切，

所以=r（5分），即r=|x0|（6分）

又因为圆被y轴截得的弦|AB|=2，

所以()2+x02=r2（8分）

∴2+x02=2 x02∴解得x0=±，（10分）

∴r=2   （11分）

即圆的方程为：(x+)2+(y+3)2=4或(x-)2+(y-3)2=4．（13分）