圆的方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

圆心在直线上，且到轴的距离恰等于圆的半径，在轴上截得的弦长为，求此圆的方程．

正确答案

或

由题意，设所求圆的方程为．

由其中，是根据弦长、弦心距与半径关系得到，解得或．

所求圆的方程为或．

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题型：简答题

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简答题

已知动圆过定点，且与直线相切.

(1)求动圆的圆心轨迹的方程；

(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

正确答案

⑴；⑵。

（1）如图，设为动圆圆心，，过点作直线的垂线，垂足为

，由题意知：， ………………………………………………2分

即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， ∴动点的轨迹方程为 ………………………5分

（2）由题可设直线的方程为，

由得

△， ………………………………………………………………………………7分

设，，则，

由，即，，于是，

即，，

，解得或（舍去），…………………………………10分

又， ∴直线存在，其方程为 ………………………………12分

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题型：简答题

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简答题

[选修4-1：几何证明选讲]

如图，是圆的直径，是圆上位于异侧的两点，证明

正确答案

证明见解析.

试题分析：这两个角直接证明相等不太可能，我们可以通过第三个角过渡，即证明他们都与第三个角相等，在本题中一个等腰三角形说明，另一方面与是同弧所对的圆周角，相等，故结论得证．

试题解析：由题意，，又∵，∴，∴.

【考点】圆周角问题.

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题型：填空题

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填空题

如图，在半径为的圆中，弦、相交于，，，则圆心到弦的距离为 .

正确答案

试题分析：由相交弦定理得，，，，圆心到弦的距离为.

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题型：填空题

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填空题

已知点A在圆C：x2+(y-2)2=上运动，点B在以F(，0)为右焦点的椭圆x2+4y2=4上运动，求|AB|的最大值______．

正确答案

∵|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+，当且仅当B，C，A共线时取等号．

因此当|BC|最大值时，|AB|取最大值时．

设B（x，y），则 d2=|BC|2=x2+（y-2）2=4（1-y2）+（y-2）2=-3y2-4y+8=--3(y+

2

3

)2+，

∵-1≤y≤1，∴当y=-时，d2最大值为，d最大值为，

|AB|的最大值为+=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x-3y-2=0与圆C相交与A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为______．

正确答案

依题意可知抛物线的焦点为（1，0），

∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．

所以圆心坐标为（0，1），

∴r2=32+=10，

圆C的方程为x2+（y-1）2=10

故答案为x2+（y-1）2=10

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题型：填空题

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填空题

过点A（4，1）的圆C与直线x-y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为______．

正确答案

设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，

则(4-a)2+(1-b)2=r2，(2-a)2+(1-b)2=r2，=-1，

解得a=3，b=0，r=，故所求圆的方程为（x-3）2+y2=2．

故答案为：（x-3）2+y2=2．

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题型：填空题

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填空题

圆心在抛物线x=-y2的焦点且与其准线相切的圆方程是______．

正确答案

由抛物线x=-y2得到p=-4，

所以焦点坐标为（-2，0），即圆心坐标为（-2，0），准线方程为x=2，

由所求圆与其准线相切，得到圆心到准线方程的距离d==r，即圆的半径r=4，

则所求圆的方程为：（x+2）2+y2=16．

故答案为：（x+2）2+y2=16

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分8分）求圆心在直线4 x + y = 0上，并过点P（4，1），Q（2，－1）的圆的方程

正确答案

解：解:∵点P，Q在圆上，∴圆心在PQ的垂直平分线上，PQ的垂直平分线的方程为x + y －3= 0 又圆心在直线 4 x + y = 0上，∴它们的交点为圆心

由即圆心坐标为(－1，4)，半径,

因此所求圆的方程为

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知圆：，点，，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；

（Ⅲ）过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．

正确答案

解: （Ⅰ）因为的垂直平分线交于点．所以

所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆……………2分

设椭圆的标准方程为

则，，则椭圆的标准方程为……4分

（Ⅱ）设，则 ①

因为

则 ②

由①②解得……………7分

所以直线的斜率……………8分

（Ⅲ）直线方程为，联立直线和椭圆的方程得:

得…………9分

由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，

设则

假设在轴上存在定点，满足题设，则

因为以为直径的圆恒过点,

则，即: （*）

因为

则（*）变为…………11分

由假设得对于任意的,恒成立，

即解得……13分

因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为．………………14分

略

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正确答案

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