圆的方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

过圆x2+y2-x+y-2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 .

正确答案

(x+1)2+(y-1)2=13

试题分析：设所求圆的方程为x2+y2-x+y-2+λ（x2+y2-5）=0（λ≠-1），

即整理可得,

以可知圆心坐标为 (，-)，

因为圆心在直线3x+4y-1=0上，

所以可得3×-4×-1=0，

解得λ=-．将λ=-

代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：x2+y2+2x-2y-11=0．

故答案为(x+1)2+(y-1)2=13．

点评：中档题，确定圆的方程，常用方法是“待定系数法”。本题利用了“圆系方程”，通过确定一个待定系数，解决问题。

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知圆方程：，求圆心到直线的距离的取值范围.

正确答案

试题分析：将圆方程配方得(2分)

故满足，解得或(6分)

由方程得圆心到直线的距离

,(10分)

,得(14分)

点评：本题中特别要注意方程表示圆的充要条件，此条件对参数范围的限定；点到直线的距离,本题难度适中

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题型：简答题

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简答题

(10分) 已知点P是曲线x2＋y2＝16上的一动点，点A是x轴上的定点，坐标为(12,0)．当点P在曲线上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程．

正确答案

设M(x，y)、P(x0，y0)．由题意＝x，＝y.∴x0＝2x－12，y0＝2y.又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝16上，∴x＋y＝16.∴(2x－12)2＋(2y)2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.

略

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题型：简答题

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简答题

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.

（1）求向量的坐标；

（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；

（3）是否存在实数a，使函数的图像上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.

正确答案

[解]（1）设得

所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：

由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2="10," 得圆心（3，－1），半径为.

设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x,y）则

故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.

（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则

故当时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.

略

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题型：填空题

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填空题

椭圆x2＋4y2=16被直线y=x＋1截得的弦长为．

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

已知两点，则以线段PQ为直径的圆的方程是 .

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

圆内有一点P(-1,2),AB过点P,若弦长

①求直线AB的倾斜角；

②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程.

正确答案

(1)或; (2)x+y-1=0或x-y+3=0.

试题分析：①设圆心（-1，0）到直线AB的距离为d，则 d==1，设直线AB的倾斜角α，斜率为k，则直线AB的方程 y-2=k（x+1），即 kx-y+k+2=0，d=1=，

∴k=或-，∴直线AB的倾斜角α=60°或 120°．

②∵圆上恰有三点到直线AB的距离等于，

∴圆心（-1，0）到直线AB的距离d==，

直线AB的方程 y-2=k（x+1），

即kx-y+k+2=0，

由d==，

解可得k=1或-1，

直线AB的方程 x-y+3=0 或-x-y+1=0．

点评：中档题，确定直线的方程，常用方法是“待定系数法”。本题利用利用点到直线的距离公式，建立斜率的方程求解。

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题型：填空题

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填空题

若直线x=my-1与圆C:x2 +y2 + mx + ny + p =" O" 交于 A, B两点，且A，B两点关于直线y = x对称，则实数P的取值范围为_______.

正确答案

试题分析：根据题意，由于直线x=my-1与圆C:x2 +y2 + mx + ny + p =" O" 交于 A, B两点，且A，B两点关于直线y = x对称，，则可知直线AB的斜率为-1，，故可知m=-1，并且中点坐标在y=x上，联立方程组得到交点坐标为x= ,则该点在圆内部，那么则实数P的取值范围为，故答案为

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题

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题型：填空题

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填空题

点P是椭圆上一点, F1、F2是其焦点, 若∠F1P F2=90°, △F1P F2面积为 .

正确答案

9

试题分析：△F1P F2是椭圆的“焦点三角形”。在椭圆中，焦点三角的面积公式是：若椭圆的方程是则 (θ为焦点三角形的顶角)

所以S=9×tan45°=9，即△F1P F2面积为面积为9.

点评：典型题，涉及椭圆的“焦点三角形”问题，一般要利用椭圆的定义。本题利用已有“小结论”，使问题的解决更为方便。

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题型：简答题

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简答题

(本题满分14分)已知圆和圆外一点.

(1)过作圆的割线交圆于两点，若||＝4，求直线的方程；

(2)过作圆的切线，切点为，求切线长及所在直线的方程．

正确答案

（1）直线的方程或（2）切线长为所在直线的方程为

试题分析：(1)圆的方程可化为：，圆心为，半径

①若割线斜率存在，设：，即，

设的中点为，则|PN|＝

由得则直线:. ……4分

②若割线斜率不存在，则直线：，代入圆方程得，

解得符合题意，

综上，直线的方程为或. ……7分

(2)切线长为

以为直径的圆的方程为，

即.

又已知圆的方程为，两式相减，得，

所以直线的方程为. ……14分

点评：要解决好此类问题就要牢固掌握直线与圆的位置关系的判断，注重圆的几何性质在解题的中的应用.

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