圆的方程
共2177题

圆的方程
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题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，，四边形的面积为．

（Ⅰ）试判断四边形的形状并求其面积；

（Ⅱ）设函数,求

的最大值及对应的的值；

（Ⅲ）设点的坐标为，，在（Ⅱ）的条件下，求．

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ) （Ⅲ）

：（Ⅰ）由可知四边形为平行四边形，

，四边形为菱形，．

（Ⅱ）由已知得，的坐标分别为，,, ,,

，此时．

（Ⅲ）由得，，

．

题型：填空题

填空题

方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．

正确答案

(3，0)，3

(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.

题型：填空题

填空题

如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径__________ ．

正确答案

．

试题分析：连结，在中，．

题型：简答题

简答题

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为。

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆与直线交于点。若点的坐标为（3，），求。

正确答案

（1）（2）

试题分析：（Ⅰ）由得即

（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，

即由于，故可设是上述方程的两实根，

所以故由上式及t的几何意义得：

|PA|+|PB|==。

点评：本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力

题型：简答题

简答题

(本小题满分14分)（1）一个圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线所截得的弦长为，求此圆方程。

（2）已知圆，直线，求与圆相切，且与直线垂直的直线方程。

正确答案

（1）或；（2）。

试题分析：（1）设圆心为，因为与x轴相切，所以r=|3a|,

又因为被直线所截得的弦长为，所以，所以所求圆的方程为或。

（2）设所求直线方程为，因为与圆相切，所以，所以所求直线方程为。

点评：要求圆的方程，关键是要确定圆心和半径。属于基础题型。

（1）平行直线系：与Ax＋By＋C＝0平行的直线为：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)。

（2）垂直直线系：与Ax＋By＋C＝0垂直的直线为：Bx－Ay＋C1＝0。

（3）定点直线系：若：＝0和：＝0相交，则过与交点的直线系为＋λ＝0。

题型：简答题

简答题

直线经过点，且与圆相交与两点，截得的弦长为，求的方程？

正确答案

解：设直线的方程为，即

得圆心到直线的距离，故

或

∴所求直线的方程为或

略

题型：填空题

填空题

点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．

正确答案

(－1，1)

∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.

题型：填空题

填空题

圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．

正确答案

x2＋(y－2)2＝1

设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

题型：填空题

填空题

以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．

正确答案

(x－1)2＋(y－2)2＝25

设P(x，y)是所求圆上任意一点．∵A、B是直径的端点，∴·＝0.又＝(－3－x，－1－y)，＝(5－x，5－y)．由·＝0 (－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0 x2－2x＋y2－4y－20＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝25.

题型：简答题

简答题

过点的圆C与直线相切于点.

（1）求圆C的方程；

（2）已知点的坐标为，设分别是直线和圆上的动点，求的最小值．

（3）在圆C上是否存在两点关于直线对称，且以为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.

正确答案

（1）

（2）

（3）直线为或

试题分析：解. （1）由已知得圆心经过点，且与垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线上，所以求得圆心，半径为，

所以圆C的方程为 4分

（2）求得点关于直线的对称点，

所以，所以的最小值是。 9分

（3）假设存在两点关于直线对称，则通过圆心，求得，所以设直线为，代入圆的方程得，

设，又，

解得，这时，符合，所以存在直线为或符合条件。 14分

点评：主要是考查了直线与圆的位置关系以及直线的对称性的运用，属于中档题。

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