- 圆的方程
- 共2177题
已知圆:
,
是
轴上的点,
分别切圆
于
两点,若直线
恒过某定点,求定点的坐标
正确答案
直线过定点
设,
,
,则
切线的方程为
,切线
的方程为
将
代入切线
的方程得:
,
故点在直线
上,所以直线
方程为
即,所以直线
过定点
解法二:由已知得∠∠
,所以
两点在以
为直径的圆上
设,则以
为直径的圆的方程为
所以两点在圆
和圆
上
两式相减得,即直线
方程为
,所以直线
过定点
(本小题满分12分)已知圆以
为圆心且经过原点O.
(1) 若直线与圆
交于点
,若
,求圆
的方程;
(2) 在(1)的条件下,已知点的坐标为
,设
分别是直线
和圆
上的动点,求
的最小值及此时点
的坐标。
正确答案
(1)圆方程为
.(2)
.
试题分析:(I)利用圆的标准方程写出圆的方程,根据线段的中垂线的性质判断出C,H,O三点共线,利用两点连线的斜率公式求出直线OC的斜率,列出关于t的方程,求出t的值.通过圆心到直线的距离与圆半径的大小的比较,判断出直线与圆的关系是否相交.
(II)求出点B关于直线x+y+2=0的对称点,将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题,根据圆的几何条件,圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径.
解:由题知,圆方程为
,
化简得 …1分
(1),则原点
在
的中垂线上,设
的中点为
,则
.
三点共线,则直线
的斜率
或
,则圆心
或
, …4分
所以圆方程为或
, …5分
由于当圆方程为时,直线
到圆心的距离
,不满足直线和圆相交,故舍去.
圆
方程为
. …6分
(2)点关于直线
的对称点为
, …7分
则,又
到圆上点
的最短距离为
,
所以的最小值为
, …10分
直线的方程为
,则直线
与直线
的
交点的坐标为
. …12分
点评:解决该试题的关键是求圆的方程一般利用的方法是待定系数法;解决直线与圆的有关的问题常利用圆的一些几何意义:常需要解圆心距、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形;圆外的点到圆上的最值常求出点到圆心的距离加上或减去圆的半径
从圆外一点
作这个圆的切线,设两条切线之间所夹的角为
,则
.
正确答案
因为圆心为(1,-1),
半径r=2,
.
如图,点P在圆O直径AB的延长线上,且PB=OB=2,PC切圆O于C点,CDAB于D点,则CD= 。
正确答案
略
若圆的圆心到直线
的距离为2 ,则
正确答案
略
求经过和直线
相切,且圆心在直线
上的圆的方程
正确答案
2
解:因为圆心在直线上,设圆心坐标为
1分
设圆的方程为 2分
圆经过点和直线
相切
所以有 8分
解得,
或
12分
所以圆的方程为
或
14分
(本小题满分13分)
(1) 已知圆C经过P(4,– 2),Q(–1,3)两点,若圆心C在直线y = 2x上,求圆C的方程;
(2) 已知圆M经过坐标原点O,圆心M在直线上,与x轴的另一个交点为A,△MOA为等腰直角三角形,求圆M的方程.
正确答案
(1)
(2)
解:(1) PQ中点M(),
∴PQ中垂线为,经过圆心C
由
∴C(– 1,– 2)
∴所求圆的方程为·········································· 6分
∴所求圆的方程为·········································· 13分
(几何证明选讲选做题)如图:EB、EF是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=500,∠DCF=300,则∠A的度数是 .
正确答案
950
略
已知双曲线的一个焦点为
,以坐标原点
为圆心
为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一个交点为
,若
,则双曲线的离心率为 .
正确答案
,根据圆与双曲线的对称性,可取
,则由
得
,化简得
,
,解之得
.
【考点定位】本题考查圆与双曲线等知识,意在考查方程思想及学生的运算能力.
(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-2x—3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上.若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,
(1)求圆C的方程;
(2)若,求a的值;
(3)若 OA⊥OB,(O为原点),求a的值.
正确答案
(1) (x-1)2+(y+1)2=5. (2)或
;(3) a=-1.
。
试题分析:(1)曲线y=x2-2x—3与y轴的交点为(0,-3),与x轴的交点为(-1,0),(3,0).
故可设圆C的圆心为(1,t),则有12+(t+3)2=(1+1)2+t2,解得t=.
则圆C的半径为.则以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2) ,
圆心C到直线x-y+a=0的距离为
即,解得
或
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:.
消去y,得到方程2x2+2ax+a2+2a-3=0. 由已知可得,判别式Δ=24-16a-4a2>0.
从而x1+x2=-a,x1x2=.①
由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,
所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②
由①,②得a=1,,满足Δ>0,故a=-1.
点评:典型题,关于圆的考查,往往以这种“连环题”的形式出现,首先求标准方程,往往不难。而涉及在直线与圆的位置关系,往往要利用韦达定理,实现“整体代换”。本题中利用OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,从而将两根之积代入,方便求解。
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