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题型:简答题
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简答题

已知圆轴上的点,分别切圆两点,若直线恒过某定点,求定点的坐标

正确答案

直线过定点

,,则

切线的方程为,切线的方程为代入切线的方程得:

故点在直线上,所以直线方程为

,所以直线过定点

解法二:由已知得∠,所以两点在以为直径的圆上

,则以为直径的圆的方程为

所以两点在圆和圆

两式相减得,即直线方程为,所以直线过定点

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)已知圆为圆心且经过原点O.

(1) 若直线与圆交于点,若,求圆的方程;

(2) 在(1)的条件下,已知点的坐标为,设分别是直线和圆上的动点,求的最小值及此时点的坐标。

正确答案

(1)圆方程为 .(2)

试题分析:(I)利用圆的标准方程写出圆的方程,根据线段的中垂线的性质判断出C,H,O三点共线,利用两点连线的斜率公式求出直线OC的斜率,列出关于t的方程,求出t的值.通过圆心到直线的距离与圆半径的大小的比较,判断出直线与圆的关系是否相交.

(II)求出点B关于直线x+y+2=0的对称点,将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题,根据圆的几何条件,圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径.

解:由题知,圆方程为

化简得                          …1分

(1),则原点的中垂线上,设的中点为,则三点共线,则直线的斜率,则圆心,         …4分

所以圆方程为,          …5分

由于当圆方程为时,直线到圆心的距离,不满足直线和圆相交,故舍去.

方程为 .                             …6分

(2)点关于直线的对称点为,           …7分

,又到圆上点的最短距离为

所以的最小值为,                                …10分

直线的方程为,则直线与直线

交点的坐标为.               …12分

点评:解决该试题的关键是求圆的方程一般利用的方法是待定系数法;解决直线与圆的有关的问题常利用圆的一些几何意义:常需要解圆心距、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形;圆外的点到圆上的最值常求出点到圆心的距离加上或减去圆的半径

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题型:填空题
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填空题

从圆外一点作这个圆的切线,设两条切线之间所夹的角为,则         

正确答案

因为圆心为(1,-1),

半径r=2,

.

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题型:填空题
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填空题

如图,点P在圆O直径AB的延长线上,且PB=OB=2,PC切圆O于C点,CDAB于D点,则CD=       

正确答案

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题型:填空题
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填空题

若圆的圆心到直线的距离为2 ,则        

正确答案

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题型:简答题
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简答题

求经过和直线相切,且圆心在直线上的圆的方程

正确答案

2

解:因为圆心在直线上,设圆心坐标为             1分

设圆的方程为                         2分

圆经过点和直线相切

所以有                                    8分

解得,                                  12分

所以圆的方程为

                14分

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分13分)

(1)   已知圆C经过P(4,– 2),Q(–1,3)两点,若圆心C在直线y = 2x上,求圆C的方程;

(2)   已知圆M经过坐标原点O,圆心M在直线上,与x轴的另一个交点为A,△MOA为等腰直角三角形,求圆M的方程.

正确答案

(1)

(2)

解:(1) PQ中点M),

PQ中垂线为,经过圆心C

C(– 1,– 2)

∴所求圆的方程为·········································· 6分

∴所求圆的方程为·········································· 13分

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题型:填空题
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填空题

(几何证明选讲选做题)如图:EB、EF是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=500,∠DCF=300,则∠A的度数是       .

正确答案

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题型:填空题
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填空题

已知双曲线的一个焦点为,以坐标原点为圆心为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一个交点为,若,则双曲线的离心率为            .

正确答案

,根据圆与双曲线的对称性,可取,则由,化简得,解之得.

【考点定位】本题考查圆与双曲线等知识,意在考查方程思想及学生的运算能力.

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-2x—3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上.若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,

(1)求圆C的方程;

(2)若,求a的值;

(3)若 OA⊥OB,(O为原点),求a的值.

正确答案

(1) (x-1)2+(y+1)2=5. (2);(3) a=-1.

试题分析:(1)曲线y=x2-2x—3与y轴的交点为(0,-3),与x轴的交点为(-1,0),(3,0).

故可设圆C的圆心为(1,t),则有12+(t+3)2=(1+1)2+t2,解得t=.

则圆C的半径为.则以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.

(2) , 圆心C到直线x-y+a=0的距离为

,解得

(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:.

消去y,得到方程2x2+2ax+a2+2a-3=0. 由已知可得,判别式Δ=24-16a-4a2>0.

从而x1+x2=-a,x1x2.①

由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,

所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②

由①,②得a=1,,满足Δ>0,故a=-1.

点评:典型题,关于圆的考查,往往以这种“连环题”的形式出现,首先求标准方程,往往不难。而涉及在直线与圆的位置关系,往往要利用韦达定理,实现“整体代换”。本题中利用OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,从而将两根之积代入,方便求解。

下一知识点 : 直线、圆的位置关系
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