数列_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．设数列的前n项和为，已知，

（1）设，证明数列是等比数列

（2）求数列的通项公式。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

13．若，则（）．

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且，n∈N*，则数列的前100项和为 (　　)

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．数列的前项的和为，对于任意的自然数，

（I）求证：数列是等差数列，并求通项公式

（II）设，求和

正确答案

（I）令

（2）-（1）：

是等差数列

（II）

---①

---②

① -②

所以

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的判断与证明错位相减法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

22．已知数列{an}的前n项和，且=1，.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）已知定理：“若函数f（x）在区间D上是凹函数，x>y（x,y∈D），且f’（x）存在，则有< f’（x）”．若且函数y=xn+1在（0,+∞）上是凹函数，试判断bn与bn+1的大小；

（III）求证：≤bn<2.

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合数列与不等式的综合

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．正项数列中, ,则实数p= 。

正确答案

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解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．设各项均为正数的数列的前项和为，满足且恰好是等比数列的前三项．

（1）求数列、的通项公式；

（2）记数列的前项和为,若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的基本运算等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且。

（1）求a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；

（2）解不等式。

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

20．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*

（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；

（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列。

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值数列与不等式的综合

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

3.数列对一切正整数n都有，其中是{an}的前n项和，则=（）

A

B

C4

D-4

正确答案

C

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数, ∴必是的因数, ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

考查方向

本题考查了等比数列的证明及数列的通项公式求法

解题思路

利用，得数列是等比数列.

易错点

忽略n的范围的讨论。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明裂项相消法求和数列与函数的综合

1

题型：单选题

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单选题 · 3 分

8.Sn为等比数列{an}的前n项和，满足al=l，，则{an}的公比为

A-3

B2

C2或-3

D2或-2

正确答案

B

解析

因为，所以当，两式相减得：，即，解得q=2或-2；当，即，解得q=2或-3因此q=2，故选B。

考查方向

本题主要考查了等比数列性质。

解题思路

因为，所以当，两式相减得：，即，解得q=2或-2，所以还要考虑当的情况。

易错点

不能正确排除干扰选项-3和-2。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的基本运算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17. 设数列的前项和，且是的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和，求证：.

正确答案

（1）

（2）略

解析

（1）由已知，有，

即.

从而，.

又因为是的等差中项，即.解得.

所以数列是首项为，公比为的等比数列.故.

（2）由（1）得，所以，

两式相减

.

因为-=,所以数列递减

即,从而

考查方向

本题主要考查了等差和等比数列的基本性质以及等比数列求和错位相减法的运用，难度较小，属高考热点问题之一。数列问题在高考中常常涉及根据递推式求通项公式，数列的求和以及数列和不等式的结合等问题。

解题思路

第一问直接利用，找出相邻两项之间的关系，然后再根据等差中项的性质求出首项即可。第二问用错位相减法得到前n项和，然后直接得到小于2，再根据数列的单调性得到左边成立。

易错点

1、第一问中不能把灵活运用，或不会求首项；

2、第二问中右边端点通过求和就能证明，但是左边端点不能想到结合函数的单调性来解决。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知各项均为正数的数列的前项和为，且（），若，则数列的通项公式　　　　　　　．

正确答案

．

解析

由已知，（），

所以．

因为，所以，．

所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，，所以当时，；当时，上式也成立，所以．应填．

考查方向

本题主要考查数列及等差数列的概念和性质，属于中档题，考查逻辑思维能力和推理论证能力。

解题思路

本题主要考查数列及等差数列的概念和性质，

解题步骤如下：用表示an，得出数列是等差数列；

由求出an,进而求出bn.

易错点

本题不易想到用来表示an，因而不能正确推出结果。

知识点

由an与Sn的关系求通项an由递推关系式求数列的通项公式

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

20．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为 “等比源数列”。

（1）已知数列中，。

①求数列的通项公式；

②试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论。

（2）已知数列为等差数列，且.求证：为“等比源数列”

正确答案

（1）①；②略；

（2）略．

解析

试题分析：此题是结合等差（比）数列，给出新定义的创新试题，难度较大。在解题中要充分利用新定义的性质，合理推理，得出结论。

（1）①由an+1＝2an－1，得an+1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，

所以数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．

所以an－1=2n-1．

所以，数列{an}的通项公式为a n＝2n-1+1．

②数列{an}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：

假设数列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak (m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列．

因为an＝2n-1+1，所以am＜an＜ak．

所以an2＝am·ak，得 (2n-1+1)2＝(2m-1+1)(2k-1+1)，即22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m＝1．

又m＜n＜k，m，n，k∈N*，

所以2n－m－1≥1，n－m+1≥1，k－1≥1，k－m≥1．

所以22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m为偶数，与22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m＝1矛盾．

所以，数列{an}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．

综上可得，数列{an}不是“等比源数列”．

（2）不妨设等差数列{an}的公差d≥0．

当d＝0时，等差数列{an}为非零常数数列，数列{an}为“等比源数列”．

当d＞0时，因为an∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{an}中必有一项am＞0．

为了使得{an}为“等比源数列”，

只需要{an}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得an2＝amak成立，

即[am+(n－m)d]2＝am[am+(k－m)d]，即(n－m)［2am+(n－m)d］＝am(k－m)成立．

当n＝am+m，k＝2am+amd+m时，上式成立．所以{an}中存在am，an，ak成等比数列．

所以，数列{an}为“等比源数列”．

考查方向

本题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列的的通项公式与求和公式、不等式的求解等基本性质．考查学生创新意识．难度较大．

解题思路

本题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列的的通项公式与求和公式、不等式的求解等基本性质.

解题步骤如下：

根据已知条件构造新数列，从而求出数列的通项a n；利用等差（比）数列的性质，和题目给出的新定义“等比源数列”进行合理的恒等变换和推理，得出解答。

易错点

不能正确理解题目中给出的新定义“等比源数列”

在判断“等比源数列”中的恒等变换时易出错。

知识点

由an与Sn的关系求通项an

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易错点

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