- 圆的方程
- 共2177题
(理)已知点是圆
上的动点.
(1)求点到直线
的距离的最小值;
(2)若直线与圆相切,且与x,y轴的正半轴分别相交于
两点,求
的面积最小时直线的方程;
正确答案
(1) (2)
试题分析:解:(1)圆心到直线l的距离为, 所以P到直线l:
的距离的最小值为:
(2)设直线l的方程为:,因为l与x,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,则
,
且,又l与圆C相切,则C点到直线l的距离等于圆的半径2,
即:, ①,
而 ②
将①代入②得,
当且仅当时取等号,所以当
时,
的面积最小,此时
,直线l的方程为:
点评:解决该试题中圆上点到直线的距离的最值问题,直接转化为圆心到直线的距离加上圆的半径为最大值,减去圆的半径为最小值得到。这是高考中常考的一个知识点,要熟练的掌握。
从圆外一点
向这个圆作两条切线,则这两条切线夹 角的余弦值为________________.
正确答案
略
圆x2+y2-6x+4y=0的周长是 。
正确答案
略
点A(0,2)是圆x2+y2=16内的定点,点B,C是这个圆上的两个动点,若BA⊥CA,求BC中点M的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线。
正确答案
所求轨迹为以(0,1)为圆心,以为半径的圆
设点M(x,y),因为M是定弦BC的中点,故OM⊥BC,
又∵∠BAC=900 ,∴
∵,∴
即: 42=(x2+y2)+[(x-0)2+(y-0)2]
化简为x2+y2-2y-6=0,即x2+(y-1)2="7."
∴所求轨迹为以(0,1)为圆心,以为半径的圆。
(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲。如图,E是圆O内两弦AB和CD的交点F是AD延长线上一点,FG与圆O相切于点G,且EF=FG,求证:
(1);
(2)EF//BC。
正确答案
证明:
(Ⅰ)∵FG与圆O相切于点G,∴FG2=FD·FA,
∵EF=FG,EF2=FD·FA,∴=
,
∵∠EFD=∠AFE,∴△EFD∽△AFE. …5分
(Ⅱ)由(Ⅰ),有∠FED=∠FAE,
∵∠FAE和∠BCD都是弧BD上的圆周角,∴∠FED=∠BCD,
∴EF∥BC.…10 分
本题考查三角形相似的证明以及线线平行的证明,考查学生的转化和划归能力。第一问利用切割线定理进行转化证明三角形相似;第二问要充分借助第一问的结论证明线线平行.
本大题9分)
已知与圆C:相切的直线l分别交x轴和y轴正半轴于A,B两点,O为原点,且|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2)。
(1) 求证:(a-2)(b-2)=2;
(2) 求△AOB面积的最小值。
正确答案
(2)设三角形AOB的面积为S,则有S=
由(1)得,ab=2(a+b)-2≥-2,即2S≥4
-2,解得:S≥
,
因此S的最小值就是,此时a=b=2+
……(9分)
略
以点C(-1,2)为圆心且与x轴相切的圆的方程为 .
正确答案
(x+1)2+(y-2)2=4
略
已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为________.
正确答案
表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,∴
的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,由
=1,得k=
,结合图形可知
≥
,∴所求最小值为.
如图所示,圆上一点
在直径
上的射影为
,
,则线段
的长等于 .
正确答案
3
试题分析:根据勾股定理,,又由射影定理得
,
,所以得
,
,则
.
如图,已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______。
正确答案
2
试题分析:由相交弦定理可得AD•DB=CD•DE,代入解出即可.解:延长CO交⊙O于点E,由相交弦定理可得AD•DB=CD•DE,∴4×3=CD×(8-CD),解得CD=2或6.∵CD<4,故CD=2.∴CD的长为2.故答案为2.
点评:熟练掌握相交弦定理是解题的关键
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