圆的方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

以为圆心，半径为的圆的标准方程为 ▲ ；

正确答案

依题意可得，圆上任意一点到圆心的距离为，则，即

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题型：填空题

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填空题

直线与圆的位置关系是 .

正确答案

相交

试题分析：根据题意，由于直线与圆方程可知，圆心为（0,1），半径为,那么可知圆心到直线的距离为,那么利用平方可知，距离的平方小于5，故可知直线与圆相交故可知答案为相交。

点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。

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题型：填空题

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填空题

若为圆的弦AB的中点, 则直线AB的方程为。

正确答案

试题分析：根据题意可知，由于为圆的弦AB的中点,因此圆心（1，0），半径为5，可知点P在直线AB上，其斜率为的两点斜率的负倒数，即可知为1，因此由点斜式方程可知为，答案为。

点评：根据直线与圆的位置关系可知，圆内弦所在直线与圆心和弦中点的连线垂直，这是解题的关键。基础题

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题型：填空题

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填空题

与圆，圆同时外切的动圆圆心的轨迹方程是_____________。

正确答案

试题分析：根据题意可知，设动圆的圆心为P，半径为r，

而圆（x-3）2+y2=9的圆心为M1（3，0），半径为3；

圆（x+3）2+y2=1的圆心为M2（-3，0），半径为1

依题意得|PM1|=3+r，|PM2|=1+r，

则|PM1|-|PM2|=（3+r）-（1+r）=2＜|M1M2|，

所以点P的轨迹是双曲线的右支．

且：a=1，c=3，b2=8

其方程是：，。答案为

点评：解题的关键是根据已知条件中未知圆与已知圆的位置关系，结合“圆的位置关系与半径及圆心距的关系”，探究出动圆圆心P的轨迹，进而给出动圆圆心P的轨迹方程．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O

的割线PAB，交⊙O于A、B两点，与ST交于点C，求证：

正确答案

利用切割线定理再由三角形相似即可证.

试题分析：作OD垂直PB于D，连接SD、OS、PO，则有P、S、D、O四点共圆，PA+PB=2PD，又由切割线定理可知PS2=PA·PB,又易证三角形PSC与三角形PCS相似可得,PS2=PC·PD,即有

PC·PD=PC· (PA+PB)=PA·PB,从而得证.

点评：本题主要考查了切割线定理以及三角形相似的证明，注意对比例式的变形是解题关键．

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题型：简答题

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简答题

已知圆的方程为,直线过点,且与圆相切.

(1)求直线的方程;

(2)设圆与轴交于两点,是圆上异于的任意一点,过点且与轴垂直的直线为,直线交直线于点,直线交直线于点.求证:的外接圆总过定点,并求出定点坐标.

正确答案

(1)或

(2)过定点和

试题分析：(1)设直线的方程为,即.

直线与圆相切,圆心到直线的距离.

解得. 直线的方程为,

即或 ……………4分

(2)设直线,

,故直线

令,可得. ………6分

,故的外接圆即以为直径的圆.

该圆的方程为

即 ……………8分

由此可知,无论为何值,当时,总有

故该圆必过定点和 ………10分

点评：解决该试题的关键是利用线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，得到直线方程，同时利用线线的垂直关系，得到点的坐标，来分析定点。体现了解析几何中运用代数的思想解决解析几何的本质，属于中档题。

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题型：填空题

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填空题

若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则的取值范围是

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

圆的圆心在轴上，并且过点和，求圆的方程．

正确答案

由题设，线段的中点坐标是，直线的斜率．

所以，线段的垂直平分线的方程是，

即．

与轴的方程联立，解得，

即圆心坐标是，

半径长．

所以，所求圆的方程为．

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径．

正确答案

．

（几何证明选讲选做题）由切割线定理知，又是以为斜边的，，得.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）

已知直线，圆.

(Ⅰ)证明：对任意，直线恒过一定点N，且直线与圆C恒有两个公共点；

(Ⅱ)设以CN为直径的圆为圆D（D为CN中点），求证圆D的方程为：

（Ⅲ）设直线与圆的交于A、B两点，与圆D:交于点（异于C、N），当变化时，求证为AB的中点.

正确答案

(Ⅰ)∵N在圆C内，∴直线与圆C恒有两个公共点.

(Ⅱ)轨迹的方程为.

试题分析：（1）利用圆心到直线的距离小于半径，判定，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；

（2）求解CN的中点坐标和CN的长度的一半得到圆心和半径进而求解圆的方程。

（3）利用圆的方程以及交点问题得到求证。

(Ⅰ)方法1：联立方程组

消去，得

∴直线与圆恒有两个公共点………………………………………………6分

方法2：将圆化成标准方程为

由可得：.

解得，所以直线过定点N(1,-1)

∵N在圆C内，∴直线与圆C恒有两个公共点.…………………………6分

(Ⅱ)设CN的中点为D，由于°，

∴

∴M点的轨迹为以CN为直径的圆.

CN中点D的坐标为(,0)，.

∴轨迹的方程为.……………………13分

点评：解决该试题的关键是对于圆的方程的求解的常用方法的运用，以及通过圆心到直线的距离判定线圆的位置关系的运用。

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