- 集合的概念及运算
- 共1168题
复数在复平面上所对应的点Z位于()
正确答案
解析
略
知识点
设集合A={,
∈N},B={
},则A∩B等于 ( )
正确答案
解析
略
知识点
如图6,四棱锥的底面
是平行四边形,
底面
,
,
,
,
。
(1)求证:;
(2)是侧棱
上一点,记
,
是否存在实数,使
平面
?
若存在,求的值;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)连接,则
(方法一)底面
,所以
,
,
,所以
,
因为,所以
(方法二),所以
,
底面
,所以
因为,所以
平面
因为平面
,所以
(2)(方法一)过作
于
,则
平面
…
连接,由⑴知
平面
当且仅当
又,所以
平面
……8分,
依题意,,所以
,
……10分,
是
的平分线,从而也是
的平分线
在和
中,
,
所以……13分,
,即所求
的值为
(方法二)在平面内过点
作
,以
为原点,
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
则,
,
……7分,
设,由
得,
解得,
,
由(1)知平面
当且仅当
……11分,即
所以
解得
(方法三)过作
,交
于
,连接
,则平面
即平面
,由⑴知
平面
当且仅当
由(1)及余弦定理得
所以
……13分,又
,所以
知识点
已知集合,集合
,则
( )
正确答案
解析
略
知识点
已知正数a,b,c满足a+b=ab,a+b+c=abc,则c的取值范围是 。
正确答案
解析
∵ 正数a,b,c满足a+b=ab,∴ ,化为
,
∴ ,∴ ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,∴ ab∈[4,+∞)。
∵ a+b+c=abc,∴ab+c=abc,∴ c==
。
∵ ab≥4,∴ ,∴
。
∴ c的取值范围是。
知识点
已知集合Sn={(x1,x2,…,xn)|x1,x2,…,xn是正整数1,2,3,…,n的一个排列}(n≥2),函数
对于(a1,a2,…an)∈Sn,定义:bi=g(ai﹣a1)+g(ai﹣a2)+…+g(ai﹣ai﹣1),i∈{2,3,…,n},b1=0,称bi为ai的满意指数,排列b1,b2,…,bn为排列a1,a2,…,an的生成列;排列a1,a2,…,an为排列b1,b2,…,bn的母列。
(1)当n=6时,写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,﹣1,2,﹣3,4,3的母列;
(2)证明:若a1,a2,…,an和a′1,a′2,…,a′n为Sn中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(3)对于Sn中的排列a1,a2,…,an,定义变换τ:将排列a1,a2,…,an从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列,证明:一定可以经过有限次变换τ将排列a1,a2,…,an变换为各项满意指数均为非负数的排列。
正确答案
见解析
解析
(1)解:当n=6时,排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,﹣2,1,4,﹣3;
排列0,﹣1,2,﹣3,4,3的母列为3,2,4,1,6,5。
(2)证明:设a1,a2,…,an的生成列是b1,b2,…,bn;a′1,a′2,…,a′n的生成列是与b′1,b′2,…,b′n,
从右往左数,设排列a1,a2,…,an与a′1,a′2,…,a′n第一个不同的项为ak与a′k,即:an=a′n,an﹣1=a′n﹣1,…,ak+1=a′k+1,ak≠a′k。
显然 bn=b′n,bn﹣1=b′n﹣1,…,bk+1=b′k+1,下面证明:bk≠b′k。
由满意指数的定义知,ai的满意指数为排列a1,a2,…,an中前i﹣1项中比ai小的项的个数减去比ai大的项的个数。
由于排列a1,a2,…,an的前k项各不相同,设这k项中有l项比ak小,则有k﹣l﹣1项比ak大,从而bk=l﹣(k﹣l﹣1)=2l﹣k+1。
同理,设排列a′1,a′2,…,a′n中有l′项比a′k小,则有k﹣l′﹣1项比a′k大,从而b′k=2l′﹣k+1。
因为 a1,a2,…,ak与a′1,a′2,…,a′k是k个不同数的两个不同排列,且ak≠a′k,
所以 l≠l′,从而 bk≠b′k。
所以排列a1,a2,…,an和a′1,a′2,…,a′n的生成列也不同。
(3)证明:设排列a1,a2,…,an的生成列为b1,b2,…,bn,且ak为a1,a2,…,an中从左至右第一个满意指数为负数的项,所以 b1≥0,b2≥0,…,bk﹣1≥0,bk≤﹣1。
进行一次变换τ后,排列a1,a2,…,an变换为ak,a1,a2,…ak﹣1,ak+1,…,an,设该排列的生成列为b′1,b′2,…,b′n。
所以 (b′1,b′2,…,b′n)﹣(b1+b2+…+bn)=[g(a1﹣ak)+g(a2﹣ak)+…+g(ak﹣1﹣ak)]﹣[g(ak﹣a1)+g(ak﹣a2)+…+g(ak﹣ak﹣1)]=﹣2[g(ak﹣a1)+g(ak﹣a2)+…+g(ak﹣ak﹣1)]=﹣2bk≥2。
因此,经过一次变换τ后,整个排列的各项满意指数之和将至少增加2。
因为ai的满意指数bi≤i﹣1,其中i=1,2,3,…,n,
所以,整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+…+(n﹣1)=,
即整个排列的各项满意指数之和为有限数,
所以经过有限次变换τ后,一定会使各项的满意指数均为非负数。
知识点
已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},B={2,3,4},那么CU(A∩B)( )
正确答案
解析
∵ 集合A={0,1,2,3},B={2,3,4},
∴ A∩B={2,3},
又全集U={0,1,2,3,4},则CU(A∩B)={O,1,4},故选:C。
知识点
已知正六边形ABCDEF的边长是2,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是( )
正确答案
解析
由题意,设正六边形ABCDEF的顶点A、B、C、F在抛物线y2=2px上,
设A(x1,1),F(x2,2),可得,
由②、③消去p得x2=4x1,代入①可得x,
所以x1=,代入②得2p=
,
根据抛物线的性质,可得焦点到准线的距离是p=
知识点
集合,
,则
()
正确答案
解析
略
知识点
如图,椭圆的左顶点为A,M是椭圆C上异于点A的任意一点,点P与点A关于点M对称。
(1)若点P的坐标为,求m的值;
(2)若椭圆C上存在点M,使得OP⊥OM,求m的取值范围。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)依题意,M是线段AP的中点,
因为A(﹣1,0),,
所以 点M的坐标为。
由于点M在椭圆C上,
所以 ,解得
。
(2)设M(x0,y0)(﹣1<x0<1),则 ,①
因为 M是线段AP的中点,所以 P(2x0+1,2y0)。
因为 OP⊥OM,所以,
所以,即
,②
由 ①,②消去y0,整理得 。
所以 ,
当且仅当 时,上式等号成立。
所以m的取值范围是。
知识点
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