热门试卷

以AB，AD，AA1的方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标互AO为坐标原点，A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F的坐标分别为（0，0，0），（4，0，0），（4，4，0），（0，4，0），（0，0，4），（4，0，4），（4，4，4），（0，4，4），（2，0，2），（0，2，4）

（1）=(-2，2，2)，=(4，2，0)•=-4

（2）∵•=0，•=0∴EF⊥AB1EF⊥B1C

从而EF⊥面AB1C

（3）=-(-2，4，2)面CD1的法向量可取=(0，4，0)，设ED1与面CD1所成的角为θ

则sinθ===cosθ==

故所求角的余弦值为．

证明：（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．

∵PA=PC，PD=PB，且O是AC和BD的中点，

∴PO⊥AC，PO⊥BD

∴PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）取PA的中点N，连接MN，则MN∥AD，

则∠NMC就是所求的角，

根据题意得MN=1，NC=，PD=

所以，MC===

故cos∠NMC==

连接BC1、BD和DC1，

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，

在△BCD中，E，F分别是BC，DC的中点，所以，有EF∥BD，

所以∠DBC1就是异面直线AD1与EF所成角，

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．

所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°

故异面直线AD1与EF所成角的大小为60°．

（1）如图所示．

连接EC，ED．

∵AB=BC=AC=2a，

∴△ABC是等边三角形．

又AE=EB，∴CE⊥AB．

∴CE=a．

同理DE=a．

在△CED中，∵CE=ED=a，CF=FD=a，

∴EF==a；

（2）如图所示，取AC的中点M，连接EM，FM．

∵E，F分别是AB，CD的中点，

∴EMBC，FMAD．

∴∠EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成的角，

又AD=BC=2a，

∴EM=FM=a．

在△EFM中，由余弦定理可得：cos∠EMF===-．

∴异面直线AD与BC所成的角的余弦值为．

（1）连结AC交BD于O，连接EO

因为平行四边形ABCD，

所以O为BD中点，E为CC1中点

所以OE为△AC1C中位线，

所以OE∥AC1-----------3

OE⊂面BDE

AC1⊄面BDE

AC1∥面BDE------------6

（2）因正四棱柱ABCD-A1B1C1D1

所以BD⊥A1A，又因BD⊥AC

A1A∩AC=AA1A⊂面A1AC C1

AC⊂面A1ACC1

所以BD⊥面A1ACC1----------------9

A1E⊂面A1ACC1

所以BD⊥A1E，

A1E与BD所成角为900----------12

（1）证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1∴AA1⊥面A1B1C1

又C1M⊂A1B1C1∴C1M⊥AA1（2分）∵A1C1=B1C1=1，M是A1B1的中点∴C1M⊥A1B1（4分）

又AA1∩A1B1=A1∴C1M⊥平面ABB1A1（6分）

（2）设BC，BB1的中点分别为R、N连接RN，连接MN，则MN∥A1B，NR∥B1C

∴∠MNR是异面直线A1B与B1C所成角或其补角（9分）

设点P为AB的中点，连接MP，MR

在Rt△MPR中，MR==

在△MNR中，MN=A1B=，RN=B1C=，MR=

由余弦定理得：

cos∠MNR===-（11分）

∴异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为（12分）

（1）如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角或其补角

设边长为2，则B1E=B1F=，EF=

∴由余弦定理得cos∠EB1F=，

即直线AM和CN所成角的大小为arccos

（2）根据中位线定理可知MN∥A1B，NP∥C1B

∴MN∥平面A1C1B，NP∥平面A1C1B，MN∩NP=P

∴平面A1C1B∥平面MNP，

而B1D⊥平面A1C1B，

所以B1D⊥面PMN；

（3）S△MNP=，S△MNA=

设点A到平面PMN的距离为h

∴VA-MNP=VP-MNA

即S△MNPh=S△MNA×1

∴h=

（1）。（2）直线与平面所成角的正弦值为。

本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面所成的角，其中方法一的关键是熟练掌握二面角及线面夹角的定义，方法二的关键是建立空间直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题．

解法一（几何法）：（Ⅰ）作ME∥CD交CD于E，由已知中，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，N是AD的中点，可得BN⊥AD，结合侧面PAD垂直于底面ABCD，及面面垂直和线面垂直的性质可得BN⊥NE，即∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，由二面角M-BN-C为30°，可得∠DNE=30°，可求出DE= DP，进而得到所求的值。

（2）连接BE，由（Ⅰ）可知PE⊥平面BMN，即∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．连接PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，解△PBE可得直线PB与平面MBN所成的角。解法二（向量法）：（Ⅰ）建立如图所示的坐标系N-xyz，设PM=λPC（λ＞0），求出面MBN的法向量，及面BNC的法向量，由二面角M-BN-C为30°，求出λ值，即可得到值。

（2）由上可知（，0，3）为面MBN的法向量，设直线PB与平面MBN所成的角为θ，求出PB的方向向量

PB，代入线面夹角公式sinθ，可得直线PB与平面MBN所成的角．

（1）建立如图所示的坐标系，其中，，，，，。设，则，于是，……3分

设 为面的法向量，则，，取，又为面的法向量，由二面角为，得，

解得故。……6分

（2）由（1）知，为面的法向量……8分

设直线与平面所成的角为，由得

，

所以直线与平面所成角的正弦值为。……12分

45 度

平面，平面，．

平面．，

则为二面角的平面角．

在中，，，．

在中，，，

，，

所以角PCA为45度

即二面角的大小为45度．