热门试卷

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本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.

又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.

OB=MO=，MO∥AB，则，，所以，故.

（2）CE是平面与平面的交线.

由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.

因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

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所以，所求二面角的正弦值是.

解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,则MO⊥平面.

以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.

OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），

（1）设直线AM与平面BCD所成的角为.

因（0，，），平面的法向量为.则有，所以.

（2），.

设平面ACM的法向量为，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量为，则

设所求二面角为，则.

(1) 45° (2) AD与BC所成的角为90°(3) 二面角A—BD—C大小为π－arctan2.

(1)如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，

∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，

∴∠ADH=45°

(2)∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，

∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°。

(3)过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2

故二面角A—BD—C大小为π－arctan2.

另法（向量法）: (略)

证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，

∴A1ACC1，

∴A1ACC1是平行四边形，

∴A1C1∥AC且 A1C1=AC．

又O1，O分别是A1C1，AC的中点，

∴O1C1∥AO且O1C1=AO，

∴AOC1O1是平行四边形．

∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，

∴C1O∥平面AB1D1．

（2）连接BC1，C1D，

∴ABC1D1是平行四边形．

∵AD1∥BC1，

∴∠BC1O为AC1与B1C所成的角．

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，

∴BC1=C1D=BD．

又O是BD的中点，

∴∠BC1O=30°

∴异面直线AD1与 C1O所成角为30°．

(1)证明略 (2) (3) 二面角A—BD—C的大小为arctan2

取BC中点E，连结AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC

∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，

∵BC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD.

又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，∵AB平面ABD.

∴平面ABD⊥平面ACD。

(2)解: 在面BCD内，过D作DF∥BC，过E作EF⊥DF，交DF于F，由三垂线定理知AF⊥DF，∠ADF为AD与BC所成的角.

设AB=m，则BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m

即AD与BC所成的角为arctan

(3)解:∵AE⊥面BCD，过E作EG⊥BD于G，连结AG，由三垂线定理知AG⊥BD，

∴∠AGE为二面角A—BD—C的平面角

∵∠EBG=30°，BE=m,∴EG=m

又AE=m,∴tanAGE==2,∴∠AGE=arctan2.

即二面角A—BD—C的大小为arctan2.

另法（向量法）: (略)