热门试卷

(1) 证明略(2) MN与β所成角为30°

 作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD.

∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA.

在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA.

在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立.

(2)解:设∠MNB=θ,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asinθ，NB=acosθ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，

∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,

∴BD=AC=asinθ,CN=DM=asinθ,

∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN

∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴

整理得，16sin4θ－16sin2θ+3=0

解得sin2θ=,sinθ=，

当sinθ=时，CN=asinθ=a＞PN不合理，舍去.

∴sinθ=,∴MN与β所成角为30°.

（1）∵长方体ABCD-A'B'C'D'中，BC∥A′C′

∴∠A'C'B'就是异面直线BC与A′C′所成角

Rt△A'B'C'中，A′C′==4

∴cos∠A'C'B'==；

连结B'C，可得四边形A'DCB'是平行四边形，

∴A'D∥CB'，直线B'C与BC'所成的角就是A′D与BC′所成的角

矩形BB'C'C中，BC'=B'C==2

设A′D与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得

cosθ=||=

综上所述，可得BC与A′C′，A′D与BC′所成角的余弦值分别为和；

（2）∵长方体ABCD-A'B'C'D'中，AA'∥BB'

∴∠B'BC（或其补角）就是AA′与BC所成的角

矩形BB'C'C中，可得∠B'BC=90°；

又∵AA′∥CC′，∴AA′与CC′所成角为0°

综上所述AA′与BC，AA′与CC′所成角的大小分别为90°和0°．

（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，

∴S梯形BCED=×(4+1)×4=10

∴即该几何体的体积V=•S梯形BCED•AC=×10×4=．（5分）

（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，

则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（7分）

在△BAF中，∵AB=4，BF=AF═=5．

∴cos∠ABF==．

即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（12分）

解法2：

以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（6分）

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴=(0，-4，3)，=(-4，4，0)，（8分）

∴cos＜，＞=-

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（12分）

（1）见解析

（2）

解：（1）是矩形，     

又

             --------5分

（2）设面SBD的一个法向量为

--------9分

又

∴设面DAB的一个法向量为

所以所求的二面角的余弦为  

（1）（2）

由题意可知，AP、AD、AB两两垂直，

可建立空间直角坐标系A—xyz，由平面几

何知识知：AD=4，D（0，4，0），B（2，0，0），

C（2，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），

F（1，0，1），G（1，1，1）…………2分

（1）

 …………4分

（2）可证明AD⊥平面APB，∴平面APB的法向量为

设平面CPD的法向量为

 …………10分

 …………12分