- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
（1）画出平面α分别与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线；
（2）试对你的画法给出证明．
正确答案
过M点作MF∥AC交PC于F，连接EF，
则平面MNEF为平行于AC的平面α，
则NE，EF，MF分别是平面α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．
（2）证明：∵NE∥AC，MF∥AC，
∴NE∥MF，
∴直线NE与MF共面，
∵点N和E，点E和F，点M和F分别是α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的公共点，
∴NE，EF，MF分别是平面MNEF与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．
∵NE∥AC，NE⊂平面MNEF，∴AC∥平面MNEF．
∴平面MNEF为所求的平面．
解析
过M点作MF∥AC交PC于F，连接EF，
则平面MNEF为平行于AC的平面α，
则NE，EF，MF分别是平面α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．
（2）证明：∵NE∥AC，MF∥AC，
∴NE∥MF，
∴直线NE与MF共面，
∵点N和E，点E和F，点M和F分别是α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的公共点，
∴NE，EF，MF分别是平面MNEF与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．
∵NE∥AC，NE⊂平面MNEF，∴AC∥平面MNEF．
∴平面MNEF为所求的平面．
如果直线l、m与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则必有（ ）
正确答案
解析
解：由m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，
又∵l=β∩γ，l⊂γ．∴l⊥m，
故选B．
正确答案
证明：如图连接PQ，∵长方体中，P、Q分别是BB1、AA1的中点，∴AQ∥BP，AQ=BP，∴PQ∥AB，PQ=AB，∴PQ∥CD∥C1D1，PQ=CD=C1D1，
∴四边形PCDQ，PC1D1Q是平行四边形，
∴PC=DQ，PC1=QD1，
∴∠DQD1=∠CPC1．
解析
证明：如图连接PQ，∵长方体中，P、Q分别是BB1、AA1的中点，∴AQ∥BP，AQ=BP，∴PQ∥AB，PQ=AB，∴PQ∥CD∥C1D1，PQ=CD=C1D1，
∴四边形PCDQ，PC1D1Q是平行四边形，
∴PC=DQ，PC1=QD1，
∴∠DQD1=∠CPC1．
求证：（1）C1、O、M三点共线
（2）E、C、D1、F四点共面
（3）CE、D1F、DA三线共点．
正确答案
证明：（1）∵A1C∩平面BDC1=O，∴O∈A1C，O∈平面BDC1；
又∵A1C⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1；
∵AC、BD交于点M，∴M∈AC，M∈BD；
又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，
∴M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1；
又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1；
∴C1、O、M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线；
（2）∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥BA1，
又∵BC∥A1D1，BC=A1D1，
∴四边形BCD1A1是平行四边形，
∴BA1∥CD1；
∴EF∥CD1，
∴E、F、C、D1四点共面；
（3）∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，
设CE与D1F交于一点P，则：
P∈CE，CE⊂平面ABCD，
∴P∈平面ABCD；
同理，P∈平面ADD1A1，
∴P∈平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，
∴直线CE、D1F、DA三线交于一点P，
即三线共点．
解析
证明：（1）∵A1C∩平面BDC1=O，∴O∈A1C，O∈平面BDC1；
又∵A1C⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1；
∵AC、BD交于点M，∴M∈AC，M∈BD；
又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，
∴M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1；
又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1；
∴C1、O、M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线；
（2）∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥BA1，
又∵BC∥A1D1，BC=A1D1，
∴四边形BCD1A1是平行四边形，
∴BA1∥CD1；
∴EF∥CD1，
∴E、F、C、D1四点共面；
（3）∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，
设CE与D1F交于一点P，则：
P∈CE，CE⊂平面ABCD，
∴P∈平面ABCD；
同理，P∈平面ADD1A1，
∴P∈平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，
∴直线CE、D1F、DA三线交于一点P，
即三线共点．
过正方体的12条棱的每2条作平面可得到几个不同的平面？
正确答案
解：正方体有6个面已经确定，除了与棱相邻的外表面之外，还有一条斜对的棱与此棱平行，即在正方体内可以形成一个平面．以此类推，12条棱在正方体内可形成12个平面．但是他们是两两重叠的，因此内部有6个平面．加上外面的6个，一共12个．
所以从12条棱中任取2条，可以构成的平面总数为：12．
解析
解：正方体有6个面已经确定，除了与棱相邻的外表面之外，还有一条斜对的棱与此棱平行，即在正方体内可以形成一个平面．以此类推，12条棱在正方体内可形成12个平面．但是他们是两两重叠的，因此内部有6个平面．加上外面的6个，一共12个．
所以从12条棱中任取2条，可以构成的平面总数为：12．
已知点P，Q，R分别在三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC上，且PQ与AB交于点D，PR与AC交于点E，RQ与BC交于点F，求证：D，E，F三点共线．
正确答案
证明：由题意，D，E确定直线，且平面PDE∩平面ABC=DE，
∵F∈QR，QR⊂平面PDE，
∴F∈平面PDE，
同理F∈平面ABC，
∴F∈DE，
∴D，E，F三点共线．
解析
证明：由题意，D，E确定直线，且平面PDE∩平面ABC=DE，
∵F∈QR，QR⊂平面PDE，
∴F∈平面PDE，
同理F∈平面ABC，
∴F∈DE，
∴D，E，F三点共线．
已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）
（1）若α∥β，则l⊥m；（2）若α⊥β，则l∥m；（3）若l∥m，则α⊥β；（4）若 l⊥m，则α∥β．
正确答案
解析
解：∵直线l⊥平面α，若α∥β，则直线l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，即（1）正确；
∵直线l⊥平面α，若α⊥β，则l与m可能平行、异面也可能相交，故（2）错误；
∵直线l⊥平面α，若l∥m，则m⊥平面α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β；故（3）正确；
∵直线l⊥平面α，若 l⊥m，则m∥α或m⊂α，则α与β平行或相交，故（4）错误；
故选B
给出以下三个命题：①垂直于同一条直线的两个平面平行；②与一个平面等距离的两点的直线一定平行于这个平面；③如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，其中正确的命题是______．
正确答案
①
解析
解：根据线面垂直的几何特征，可得垂直于同一条直线的两个平面平行，即①正确；
过与一个平面等距离的两点的直线可能平行于这个平面，也可能相交，故②错误；
如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行或相交，故③错误；
故答案为：①
（1）已知直线a、b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是______．
（2）已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是______．
正确答案
在面内或平行
相交或平行
解析
解：（1）若b⊂α，a⊥α，可证得a⊥b；若b∥α，过b作平面β，α∩β=c，a⊥α，c⊂α，则a⊥c，b∥c，于是a⊥b，
故答案为：在面内或平行；
（2）b、c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，
故答案为：相交或平行．
空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定一个平面，则可确定平面的个数为（ ）
正确答案
解析
解：两条平行直线可以确定一个平面，
若第三条直线在该面内，则三条直线确定一个平面；
若第三条直线不在该面内，则它与另外两条直线各确定一个平面，此时确定三个平面
故选C
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