- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，
B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，
C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，
D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．
故选C．
设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，有下列四个命题：
（1）若l⊥a，m⊂a，则l⊥m；
（2）若l⊥a，l∥m，则m⊥a；
（3）若l∥a，m⊂a，则l∥m；
（4）若l∥a，m∥a，则l∥m
则其中命题正确的是______．
正确答案
（1），（2）
解析
解：∵l⊥α，m⊂a，∴l⊥m，故（1）正确；
若l⊥α，l∥m，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m⊥α，故（2）正确；
若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行也可能垂直，故（3）错误；
若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故（4）错误；
故答案为：（1），（2）．
正确答案
矩形
解析
顺次连接AB、BD、DC、CA，可得四边形ABDC是矩形，证明如下
∵正方形IJKL中，A、B分别是KL、JI的中点
∴AB∥KJ
∵AB⊈平面FGKJ，KJ⊂平面FGKJ，∴AB∥平面FGKJ，
∵AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面FGKJ=DC，∴AB∥DC
又∵平面EFJI∥平面GKLH，平面ABDC∩平面EFJI=BD，平面ABDC∩平面GKLH=AC
∴AC∥BD，可得四边形ABDC是平行四边形
∵AB∥KJ，KJ⊥平面EFJI，∴AB⊥平面EFJI，
∵BD⊂平面EFJI，
∴AB⊥BD，得四边形ABDC是矩形．即所求截痕的形状是矩形．
故答案为：矩形
已知α、β是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：由α、β是平面，m、n是直线，
在A中，此命题正确．因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直；
在B中，此命题正确．因为由平面垂直的判定定理知如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
在C中，此命题正确．因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；
在D中，此命题不正确．因为若m∥α，α∩β=n，则m∥n或m，n异面．
故选D．
已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，则α内的任何直线都与a平行；
②若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直；
③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行；
④若α⊥β，则β内的任何直线都与α垂直．
则其中______是真命题．
正确答案
②、③
解析
解：若a∥α，则α内的无数直线都与a平行，但不是任意一条，即①不正确；
若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直，即②正确；
若α∥β，则β内的任何直线都与α平行，即③正确；
若α⊥β，则β内有无数条直线都与α垂直，但不是任意一条，即④不正确．
综上可得②、③为真．
故答案为：②、③
若a，b为异面直线，直线c，d与a，b分别都相交，则a，b，c，d可确定的平面的个数为（ ）
正确答案
解析
解：当c，b与a交于同一点时，c，d是相交直线，且都与d相交，则b，c，d确定一个平面，
a与c确定一个平面，a与d确定一个平面，共确定3个平面．
当c，d与b交于同一点时，和前面情况类似，共确定3个平面．
当c，d既不与a交于同一点，也不与b交于同一点，则c，d为异面直线
∴a与c确定一个平面，a与d确定一个平面，b与c确定一个平面，b与d确定一个平面，共确定4个平面
故选D
下列说法正确的有______（请将你认为正确的结论的序号都填上）．
①三点确定一个平面；
②四边形一定是平面图形；
③梯形一定是平面图形；
④平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点．
正确答案
③
解析
解：对于①，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故①不正确；
对于②，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故②不正确；
对于③，由于梯形的上下底所在直线是平行直线，能确定平面α，再由平面基本性质的公理1，
可得梯形的两腰也在平面α内，故③正确；
对于④，如果平面α和平面β有三个公共点，且这三个点不同在一条直线上，则平面α和平面β重合，
因此两个相交的平面α、β不管有多少公共点，这些点一定在同一直线上，故④不正确．
故答案为：③
空间三条直线a，b，c中，b和c是一对异面直线，取三条直线中某两条直线确定平面，那么可以确定平面个数是（ ）
正确答案
解析
解：∵b和c是一对异面直线
若a与b，c均相交，则可以确定两个平面；
若a与b，c中一条平行与另一条相交，则可以确定两个平面；
若a与b，c中一条平行与另一条异面，则可以确定一个平面；
若a与b，c中一条相交与另一条异面，则可以确定一个平面；
若a与b，c均异面，则可以确定零个平面；
故选D
（1）求证：A′B′C′D′是平行四边形；
（2）在怎样的条件下，A′B′C′D′也是矩形？并证明你的结论．
正确答案
解：（1）证明：∵BB′⊥α，CC′⊥α，
∴BB′∥CC′，CC′⊂平面CC′D′D
∴BB′∥平面CC′D′D，
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD⊂平面CC′D′D，
∴AB∥平面CC′D′D，
∴AB，BB′是平面ABB′A′内的两条相交直线
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D，
∵α∩平面ABB′A′=A′B′，α∩平面CC′D′D=C′D′∴A′B′∥C′D′，
同理B′C′∥A′D′，因此，A′B′C′D′是平行四边形．
（2）设AB=m，BC=n，AA′=a，BB′=b，CC′=c．
不妨设a＞b＞c，在直角梯形BB′C′C中，B′C′2=a2-（b-c）2，
同样地，A′B′‘2=m2-（b-c）2A′C′2=m2+n2-（a-c）2，
当A′B′C′D′是矩形时，∠A′B′C′=90°，A′C′2=A′B′2+B′C′2
于是m2+n2-（a-c）2=m2-（a-b）2+n2-（b-c）2，（a-b）（b-c）=0，∴a=b或b=c
当a=b时，ABB′A′是矩形，AB∥A′B′，∴AB∥α；
同理当b=c时，∴BC∥α，下面再证AB∥α或BC∥α，射影A′B′C′D′是矩形．
当AB∥α时，ABB′A′是矩形，∴A′B′⊥BB′，A′B′∥AB，AB⊥BC，∴A′B′⊥BC，
于是A′B′⊥平面BB′C′C，因此A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形，因此当矩形ABCD的一边平行于平面α或在α内时，
射影A′B′C′D′是矩形，A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形．
因此当矩形ABCD的一边平行于平面α或在α内时，射影A′B′C′D′是矩形．
解析
解：（1）证明：∵BB′⊥α，CC′⊥α，
∴BB′∥CC′，CC′⊂平面CC′D′D
∴BB′∥平面CC′D′D，
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD⊂平面CC′D′D，
∴AB∥平面CC′D′D，
∴AB，BB′是平面ABB′A′内的两条相交直线
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D，
∵α∩平面ABB′A′=A′B′，α∩平面CC′D′D=C′D′∴A′B′∥C′D′，
同理B′C′∥A′D′，因此，A′B′C′D′是平行四边形．
（2）设AB=m，BC=n，AA′=a，BB′=b，CC′=c．
不妨设a＞b＞c，在直角梯形BB′C′C中，B′C′2=a2-（b-c）2，
同样地，A′B′‘2=m2-（b-c）2A′C′2=m2+n2-（a-c）2，
当A′B′C′D′是矩形时，∠A′B′C′=90°，A′C′2=A′B′2+B′C′2
于是m2+n2-（a-c）2=m2-（a-b）2+n2-（b-c）2，（a-b）（b-c）=0，∴a=b或b=c
当a=b时，ABB′A′是矩形，AB∥A′B′，∴AB∥α；
同理当b=c时，∴BC∥α，下面再证AB∥α或BC∥α，射影A′B′C′D′是矩形．
当AB∥α时，ABB′A′是矩形，∴A′B′⊥BB′，A′B′∥AB，AB⊥BC，∴A′B′⊥BC，
于是A′B′⊥平面BB′C′C，因此A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形，因此当矩形ABCD的一边平行于平面α或在α内时，
射影A′B′C′D′是矩形，A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形．
因此当矩形ABCD的一边平行于平面α或在α内时，射影A′B′C′D′是矩形．
给出下列四个命题：
①已知集合A⊆{1，2，3，4}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有12个；
②任意的三角形ABC中，有cos2A＜cos2B的充要条件是A＞B；
③平面上n个圆最多将平面分成2n2-4n+4个部分；
④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角；
其中真命题的序号是______（要求写出所有真命题的序号）．
正确答案
①集合A⊆{1，2，3，4}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有24-（1+2+1）=12个；
②cos2A＜cos2B⇔1-2sin2A＜1-2sin2B⇔sin2A＞sin2B⇔sinA＞sinB⇔A＞B；
③平面上n个圆最多将平面分成的部分是，当n=1，2时等式成立；当n=3时，3个圆把平面最多分成8部分，等式不成立；
④空间中直角在一个平面上的正投影不可以是钝角．
故填①②．
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