- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA=2。
(Ⅰ)P，C，D，M四点是否在同一平面内，为什么？
(Ⅱ)求证：面PBD⊥面PAC；
(Ⅲ)求直线BD和平面PMD所成角的正弦值．
正确答案
解：(Ⅰ)P，C，D，M四点不在同一平面内，
反证法：假设P，C，D，M四点在同一平面内．
∵DC∥AB，
∴DC∥面ABPM，
∵面DCPM∩面ABPM=PM，
∴DC∥PM，
又DC∥AB，
∴AB∥MP，这显然不成立，
∴假设不成立，即P，C，D，M四点不在同一平面内。
(Ⅱ)∵MA∥PB，MA⊥平面ABCD，
∴PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥AC，
又由AC⊥BD，
∴AC⊥面PBD，
∵AC
∴面PBD⊥面PAC。
(Ⅲ)如图，分别以BA，BC，BP为x，y，z轴， B为原点，
建立空间直角坐标系，
则
设面PMD的法向量为
则
令x=1，得
直线BD和平面PMD所成的角与
所以，直线BD和平面PMD所成的角的正弦值为
在棱长为α的正方体ABCD- A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点．
（1）求证：E、F、B、D四点共面；
（2）求证：平面AMN∥平面EFDB；
（3）求平面AMN和平面BFED间的距离．
正确答案
（1）证明：
∴
∴E、F、B、D四点共面．
（2）证明：连结AC交BD于O点，连结A′C′，交MN、EF于G、K，
连结AG、OK，
∴
又
∴
∴AG∥平面BEFD，
又
∴MN∥平面BFED，
∴平面AMN∥平面BFED．
（3）解：过G作GH⊥OK于H，则GH即为所求，
∴
又
∴
又
∴
又∵
又 ∵
∴
所以，平面AMN与平面BFED之间距离为
给出下列说法：
①空间任意三点确定一个平面；
②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；
③圆柱的侧面展开图是一个矩形；
④一条直线垂直于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都垂直．
其中正确的是（ ）。
正确答案
③④
下列命题正确的是
[ ]
正确答案
给出下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是
[ ]
正确答案
下列说法正确的是
[ ]
正确答案
已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b且直线a⊥c”的（ ）
正确答案
在空间四边形ABCD中，己知AB=AD，则BC=CD是AC⊥BD的（ ）
正确答案
下列命题正确的是
[ ]
正确答案
下面四个命题中，正确命题的序号是（ ）
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；
③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．
正确答案
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