- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
已知平面α∥β，直线a，b，其中a⊂α，b⊂β，则下列结论一定不成立的是（ ）
正确答案
下列命题中正确命题的个数是（ ）
①经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；
②已知平面α、β，直线a、b，若α∩β=a，b⊥a，则b⊥α；
③有两个侧面垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；
⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
⑥底面是等边三角形，∠APB=∠BPC=∠CPA，则三棱锥P-ABC是正三棱锥．
正确答案
给出下列四个命题：①平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形；②圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线，其中假命题的个数是（ ）
正确答案
4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）
正确答案
已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，
不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交，
故不正确．
故选A
（1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
正确答案
（1）证：由题意知，CC1∥BB1，PM⊥BB1，PN⊥BB1，
∴CC1⊥PM，CC1⊥PN，且PM∩PN=P，
∴CC1⊥平面PMN，MN⊂平面PMN，
∴CC1⊥MN；
（2）解：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有
其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角．
∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角为∠MNP，
在△PMN中，PM2=PN2+MN2-2PN•MNcos∠MNP
∴PM2•Cc12=PN2•Cc12+MN2•Cc12-2（PN•Cc1）•（MN•Cc1）cos∠MNP，
∵
∴
其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角．
解析
（1）证：由题意知，CC1∥BB1，PM⊥BB1，PN⊥BB1，
∴CC1⊥PM，CC1⊥PN，且PM∩PN=P，
∴CC1⊥平面PMN，MN⊂平面PMN，
∴CC1⊥MN；
（2）解：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有
其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角．
∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角为∠MNP，
在△PMN中，PM2=PN2+MN2-2PN•MNcos∠MNP
∴PM2•Cc12=PN2•Cc12+MN2•Cc12-2（PN•Cc1）•（MN•Cc1）cos∠MNP，
∵
∴
其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
易见
所以
=
=
=
故选B．
如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：如图所示：
证明：∵a∥b，∴a与b可确定一个平面γ．
∴b∥α，
由∵α∩β=m，b⊂β，
∴b∥m．
∴a∥b∥m．
故选A．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：如图，∵AC∥A1C1，∴∠ACB1即为A1C1与B1C所成的角，
在正△AB1C中易得，∠ACB1=60°，故A正确；
选项B，由正方体的性质易得D1C1∥AB，故错误；
选项C，可得DC∥D1C1，在RT△AC1D1中，AD1≠D1C1，
故AC1与DC不可能成45°角，故错误；
选项D，易得∠D1A1C1为A1C1与AD所成的角，
在等腰直角三角形D1A1C1为中易得∠D1A1C1=45°，
故A1C1与AD不可能垂直，故错误．
故选：A
（1）求BE1与DF1所成的角的余弦值；
（2）求证：A1B⊥AC1．
正确答案
解：（1）由已知题图中坐标系得到D（0，0，0），B（1，1，0），E1（1，
所以cos＜
所以BE1与DF1所成的角的余弦值为
（2）由（1）得
所以
所以
所以1B⊥AC1．
解析
解：（1）由已知题图中坐标系得到D（0，0，0），B（1，1，0），E1（1，
所以cos＜
所以BE1与DF1所成的角的余弦值为
（2）由（1）得
所以
所以
所以1B⊥AC1．
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