- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是（ ）
正确答案
解析
解：∵平面α∥平面β，直线a∥α，
∴直线a∥平面β，或直线a⊂平面β
①当直线a∥平面β时，经过直线a作平面γ与平面β相交，
设平面γ∩平面β=l，
∵直线a∥平面β，直线a⊂平面γ，平面γ∩平面β=l，
∴直线a∥l
∵直线b⊥β，直线l⊂平面β
∴直线b⊥l，可得直线b⊥a
②当直线a⊂平面β时，
∵直线b⊥β，直线a⊂平面β
∴直线b⊥a
综上所述，直线a与直线b一定垂直．
故选C
（1）过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等．这样的直线l可作几条？
（2）过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d．这样的直线l可作几条？
（3）与点A、B距离同为d的直线l可作几条？
（4）过点A、B分别作直线l1∥l2，使l1、l2距离为d．这样的直线l1、l2可作几组？
（5）过l1上-A点作直线l被两平行直线l1、l2，截得线段为AB，l1、l2的距离为d．这样的直线l可作几条？
正确答案
解：（1）当点P为线段AB的中点时，过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等，这样的直线l可作无数条．
当点P在直线AB上，但点P不是线段AB的中点时，过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等，这样的直线l可作一条，就是直线AB．
当点P不在直线AB上时，过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等，这样的直线l可作2条，一条和AB平行，另一条过线段AB的中点．
（2）当d＞PQ时，过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d，这样的直线l可作0条；
当d=PQ时，过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d，这样的直线l可作1条．
当d＜PQ时，过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d，这样的直线l可作2条，直线PQ正好是这2条直线的角平分线．
（3）当d＞
当d=
当d＜
（4）当d＞AB时，过点A、B分别作直线l1∥l2，使l1、l2距离为d．这样的直线l1、l2可作0条；
当d=AB时，过点A、B分别作直线l1∥l2，使l1、l2距离为d．这样的直线l1、l2可作2条，
d＜AB时，过点A、B分别作直线l1∥l2，使l1、l2距离为d．这样的直线l1、l2可作4条．
（5）当d=AB时，过l1上-A点作直线l被两平行直线l1、l2，截得线段为AB，l1、l2的距离为d，这样的直线l可作1条；
当d＜AB时，过l1上-A点作直线l被两平行直线l1、l2，截得线段为AB，l1、l2的距离为d，这样的直线l可作2条；
当d＞AB时，过l1上-A点作直线l被两平行直线l1、l2，截得线段为AB，l1、l2的距离为d．这样的直线l可作0条．
解析
解：（1）当点P为线段AB的中点时，过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等，这样的直线l可作无数条．
当点P在直线AB上，但点P不是线段AB的中点时，过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等，这样的直线l可作一条，就是直线AB．
当点P不在直线AB上时，过点P作直线l，使点A、B到l的距离相等，这样的直线l可作2条，一条和AB平行，另一条过线段AB的中点．
（2）当d＞PQ时，过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d，这样的直线l可作0条；
当d=PQ时，过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d，这样的直线l可作1条．
当d＜PQ时，过点P作直线l，使点Q到直线l距离为d，这样的直线l可作2条，直线PQ正好是这2条直线的角平分线．
（3）当d＞
当d=
当d＜
（4）当d＞AB时，过点A、B分别作直线l1∥l2，使l1、l2距离为d．这样的直线l1、l2可作0条；
当d=AB时，过点A、B分别作直线l1∥l2，使l1、l2距离为d．这样的直线l1、l2可作2条，
d＜AB时，过点A、B分别作直线l1∥l2，使l1、l2距离为d．这样的直线l1、l2可作4条．
（5）当d=AB时，过l1上-A点作直线l被两平行直线l1、l2，截得线段为AB，l1、l2的距离为d，这样的直线l可作1条；
当d＜AB时，过l1上-A点作直线l被两平行直线l1、l2，截得线段为AB，l1、l2的距离为d，这样的直线l可作2条；
当d＞AB时，过l1上-A点作直线l被两平行直线l1、l2，截得线段为AB，l1、l2的距离为d．这样的直线l可作0条．
若平面α外两直线a，b在α上的射影是两相交直线，则a与b的位置关系是______．
正确答案
相交或异面
解析
解：如果两直线a，b相交，此时两条相交直线的投影可能为两相交直线，
如果两直线a，b异面，此时两条异面直线的投影可能为两相交直线，
如果两直线a，b平行，此时两条平行直线的投影不可能为两相交直线，此时两条平行直线的投影为两条平行直线或一条直线或两点．
故答案为：相交或异面．
已知平面α、β、γ及直线l，m，l⊥m，α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，以此作为条件得出下面三个结论：①β⊥γ ②l⊥α ③m⊥β，其中正确结论是______．
正确答案
②
解析
∴根据线面垂直的判定可得l⊥α，即②正确．
而由于β⊥γ不一定成立，故①③条件不充分
故答案为：②．
若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
正确答案
解析
若GD所在的直线为l4，此时l1∥l4，
若BD所在的直线为l4，此时l1⊥l4，
故l1与l4的位置关系不确定，
故选：D
①直线AM与直线C1C相交；
②直线AM与直线DD1异面；
③直线AM与直线BN平行；
④直线BN与直线MB1异面．
其中正确结论的序号为______（填入所有正确结论的序号）．
正确答案
②④
解析
解：∵直线CC1在平面CC1D1D上，
而M∈平面CC1D1D，A∉平面CC1D1D，
∴直线AM与直线CC1异面，故①不正确；
∵直线AM与直线DD1既不相交又不平行，
∴直线AM与直线DD1异面，故②正确；
∵直线AM与直线BN异面，故③不正确；
利用①的方法验证直线BN与直线MB1异面，故④正确．
总上可知有两个命题是正确的，
故答案为：②④
已知矩形ABCD，AB=1，BC=x，将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）
正确答案
解析
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
假设将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折时存在某个位置A1BD，（A1是点A翻折后的位置），使得AB⊥CD．
又∵BA1⊥A1D，∴BA1⊥平面A1CD．
设A1（a，b，c），则
由
①当a=1时，此时矩形变为正方形，点A1与C重合，满足AB⊥CD；
②当a=0时，点A1位于yoz坐标平面内，此时，b2+c2=1，0＜b＜1，∴x=
综上可知：当x≥1时，将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，使得AB⊥CD．
故选C．
（1）求证：CD⊥A1D1．
（2）求二面角C-D1E-B1的大小．
正确答案
解：（1）∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱且AD=DD1；
∴四边形AA1D1D是正方形，∴AD1⊥A1D，
∵AD1⊥A1C，A1D∩A1C=A1；
∴AD1⊥平面DA1C；∴AD1⊥DC（4分）
∵DD1⊥DC，DD1∩AD1=D1；
∴DC⊥平面AA1D1D；∴DC⊥A1D1（6分）
（2）由（1）知以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系；C（0，1，1）；E（1，1，0）；
由题意，平面D1EB1的法向量为
设平面CD1E的法向量
令y=-1，则
∴
由图形知，二面角C-D1E-B1为锐角，
∴二面角C-D1E-B1的大小为
解析
解：（1）∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱且AD=DD1；
∴四边形AA1D1D是正方形，∴AD1⊥A1D，
∵AD1⊥A1C，A1D∩A1C=A1；
∴AD1⊥平面DA1C；∴AD1⊥DC（4分）
∵DD1⊥DC，DD1∩AD1=D1；
∴DC⊥平面AA1D1D；∴DC⊥A1D1（6分）
（2）由（1）知以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系；C（0，1，1）；E（1，1，0）；
由题意，平面D1EB1的法向量为
设平面CD1E的法向量
令y=-1，则
∴
由图形知，二面角C-D1E-B1为锐角，
∴二面角C-D1E-B1的大小为
若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：则真命题的个数是（ ）
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β，且α∥β，则m∥n；
③若α⊥β，m⊥n，且m⊥α，则n⊥β；
④若α⊥β，m⊥α，则m∥β．
正确答案
解析
解：①若m∥α，n∥α，则m、n平行、相交或异面，故①错；
②若m⊥α，α∥β，则m⊥β，n⊥β，则m∥n，故②对；
③若α⊥β，m⊥n，且m⊥α，则n可以平行于α、β的交线，则n∥β，故③错；
④若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，④错．
故选：A．
（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．
正确答案
证明：（1）∵SA⊥平面AC，
∴SA⊥BC．
∵AB⊥BC，且SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥SC，且EF⊥SC，AE∩EF=E，
∴SC⊥平面AEF，
∴AF⊥SC．
（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADS，
∴CD⊥AG，由（1）得SC⊥平面AEF，而AG在平面AEF上，
∴SC⊥AG，
∴AG⊥平面SDC，
∴AG⊥SD．
解析
证明：（1）∵SA⊥平面AC，
∴SA⊥BC．
∵AB⊥BC，且SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥SC，且EF⊥SC，AE∩EF=E，
∴SC⊥平面AEF，
∴AF⊥SC．
（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADS，
∴CD⊥AG，由（1）得SC⊥平面AEF，而AG在平面AEF上，
∴SC⊥AG，
∴AG⊥平面SDC，
∴AG⊥SD．
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