- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
（Ⅰ）在三棱锥B-AEF中，求证：AB⊥EF；
（Ⅱ）求四棱锥E-AMNF的体积．
正确答案
（I）证明：在三棱锥B-AEF中，
因为AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，
所以AB⊥平面BEF．…..（3分）
又EF⊂平面BEF，
所以AB⊥EF．…..（6分）
（II）解：因为在△ABF中，M、N分别为AB、BF的中点，
所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的
又三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等，
所以，四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的
因为VE-ABF=VA-BEF，
所以
因为
所以
故四棱锥E-AMNF的体积为
解析
（I）证明：在三棱锥B-AEF中，
因为AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，
所以AB⊥平面BEF．…..（3分）
又EF⊂平面BEF，
所以AB⊥EF．…..（6分）
（II）解：因为在△ABF中，M、N分别为AB、BF的中点，
所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的
又三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等，
所以，四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的
因为VE-ABF=VA-BEF，
所以
因为
所以
故四棱锥E-AMNF的体积为
α，β表示两个不同的平面，l表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三种情况：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β．若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：∵α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，①l⊥α，②l∥β，③α⊥β，
∴以①②作为条件，③作为结论，即若l⊥α，l∥β，根据线面垂直的性质及面面垂直的判定，可得α⊥β，故是真命题；
以①③作为条件，②作为结论，即若l⊥α，α⊥β，根据面面垂直的性质及线面平行的判定，可得l∥β，故是真命题；
以②③作为条件，①作为结论，即若l∥β，α⊥β，则l⊥α，或l与α相交，故是假命题．
故选C．
关于不同的两条直线m，n与两个平面α，β，有下面四个命题．其中真命题是（ ）
正确答案
解析
解：由题意两条直线m，n与两个平面α，β
由于m∥α，n∥β且α∥β，不能确定两条直线的位置关系，故若m∥α，n∥β且α∥β，则m⊥n是假命题；
由于若m⊥α，n⊥β且α⊥β，不能确定两条直线的位置关系，故若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n是假命题；
由于m∥α，n⊥β且α⊥β不能确定两条直线的位置关系，故若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n是假命题；
由于n∥β且α∥β可得出n⊂α或n∥α，又m⊥α可得出m⊥n故若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n是真命题．
综上知，D选项正确，
故选D
证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为
正确答案
证明：如图，以正三棱柱的顶点O为原点，棱OC、OB为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a、b，则A（
解析
证明：如图，以正三棱柱的顶点O为原点，棱OC、OB为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a、b，则A（
在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的12条对角线中，与BD1垂直的有______条．
正确答案
6
解析
解：如图：BD1为正方体的体对角线
A1C1，A1D，B1C，AB1，DC1，都与直线BD1垂直
∴与BD1垂直的各个表面的12条对角线中有AC、A1C1，A1D，B1C，AB1，DC1，共6条直线
故答案为 6
如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
正确答案
解析
解：∵BD∥B1D1，BD不包含于平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，
∴BD∥平面CB1D1，故A正确；
∵BD⊥CC1，BD⊥AC，CC1∩AC=C，∴BD⊥平面ACC1，
又AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，故B正确；
∵由三垂线定理知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，
∴AC1⊥平面CB1D1，故C正确；
由CB∥C1B1，得∠AC1B1，其正切值为
故选：D．
（2014秋•天津校级月考）已知a，b是空间两条异面直线，它们所成的角为80°，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成角均为50°，这样的l有（ ）
正确答案
解析
解：在空间取一点P，经过点P分别作a∥a‘，b∥b'，
设直线a'、b'确定平面α，
当直线PM满足它的射影PQ在a'、b'所成角的平分线上时，
PM与a'所成的角等于PM与b'所成的角
因为直线a，b所成的角为80°，得a'、b'所成锐角等于80°
所以当PM的射影PQ在a'、b'所成锐角的平分线上时，
PM与a'、b'所成角的范围是[40°，90°）．
这种情况下，过点P有两条直线与a'，b'所成的角都是50°
当PM的射影PQ在a'、b'所成钝角的平分线上时，PM与a'、b'所成角的范围是[50°，90°）．
这种情况下，过点P有且只有一条直线（即PM⊂α时）与a'，b'所成的角都是50°
综上所述，过空间任意一点P可作与a，b所成的角都是50°的直线有3条
故选：C．
设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的是（ ）
①若l⊥α，则l与α相交
②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n．
正确答案
解析
解：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；
由于不能确定直线m，n的相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；
根据平行线的传递性．l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α．即③正确；
由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n．即④正确．
故正确的有①③④共3个．
故选：C．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．
正确答案
证明：如图，连接AC1；
∴四边形ACC1A1是菱形；
∴A1C⊥AC1；
AA1⊥底面ABC，AB⊂底面ABC；
∴AA1⊥AB，即AB⊥AA1；
又AB⊥AC；C1A1
∴AB⊥平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1
∴AB⊥A1C，即A1C⊥AB，AB∩AC1=A；
∴A1C⊥平面ABC1，BC1⊂平面ABC1；
∴A1C⊥BC1．
解析
证明：如图，连接AC1；
∴四边形ACC1A1是菱形；
∴A1C⊥AC1；
AA1⊥底面ABC，AB⊂底面ABC；
∴AA1⊥AB，即AB⊥AA1；
又AB⊥AC；C1A1
∴AB⊥平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1
∴AB⊥A1C，即A1C⊥AB，AB∩AC1=A；
∴A1C⊥平面ABC1，BC1⊂平面ABC1；
∴A1C⊥BC1．
（Ⅰ）求证：A1D⊥EC；
（Ⅱ）判断如下两个两个命题的真假，并说明理由．
①BC∥平面A1DE
②EB∥平面A1DC．
正确答案
证明：（Ⅰ）在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE，∴A1D⊥DE．
又A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥平面BCDE，
又EC⊂平面BCDE，∴A1D⊥EC．
（Ⅱ）命题①是真命题，证明如下：
∵DE∥BC，DE⊂平面A1DE，BC⊄平面A1DE，
∴BC∥平面A1DE．
命题②是假题
（反证法）若EB∥平面A1DC，又EB⊂平面BCDE，平面BCDE∩平面A1DC=CD，
据直线与平面平行的性质定理，EB∥DC，这与直角三角形矛盾，所以假设不成立，
故命题②是假命题．
解析
证明：（Ⅰ）在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE，∴A1D⊥DE．
又A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥平面BCDE，
又EC⊂平面BCDE，∴A1D⊥EC．
（Ⅱ）命题①是真命题，证明如下：
∵DE∥BC，DE⊂平面A1DE，BC⊄平面A1DE，
∴BC∥平面A1DE．
命题②是假题
（反证法）若EB∥平面A1DC，又EB⊂平面BCDE，平面BCDE∩平面A1DC=CD，
据直线与平面平行的性质定理，EB∥DC，这与直角三角形矛盾，所以假设不成立，
故命题②是假命题．
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