- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
①AC⊥面BEF；
②AF与BE相交；
③若P为AA1上的一动点，则三棱锥P-BEF的体积为定值；
④在空间与直线DD1，AC，B1C1都相交的直线只有1条．
正确答案
①③④
解析
则有AC⊥平面BDD1B1，即AC⊥面BEF，故①对；
对于②，由于BE是平面BDD1B1内一直线，F不在直线BE上，且F在平面BDD1B1内，
点A不在平面BDD1B1内，由异面直线的判定可得，AF与BE为异面直线，故②错；
对于③，三棱锥P-BEF的体积为
对于④，由于平面BDD1B1与直线DD1，AC，B1C1都有交点，
则所求直线在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1与直线AC交于O，与直线C1B1交于B1，
连接OB1，延长与D1D延长交于Q，即为所求直线，故④对．
故答案为：①③④
已知二面角α-l-β的大小为θ（0°＜θ＜90°），直线a⊂α，直线b⊂β，且a与l不垂直，b与l不垂直，则（ ）
正确答案
解析
解：∵若a∥l，b∥l，则a∥b，∴排除A，C
令a与l交于一点P，∵a与l不垂直，∴直线a必是面β的一条斜线，作出它在面β内的射影m，令b与m垂直，由三垂线定理得a⊥b，故两线垂直是可能的．∴排除D
故选B
（2014秋•临高县校级月考）过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（ ）
正确答案
解析
解：若过点A与直线a的平面α与直线b平行时，不存在符合要求的平面．否则过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行．
故选：C．
已知直线m，n和平面α，满足m⊂α，n∥α，则直线m，n的关系是（ ）
正确答案
解析
解：因为m⊂α，n∥α，
所以直线m，n没有公共点，
所以直线m，n平行或者异面．
故选D．
如图，BD=CE，G、H为BC、DE中点，AB=AC，FD=FE，∠BAC=∠DFE．求证：AF∥GH．
正确答案
因为∠BAC=∠DFE，
所以∠IDF=ID与DF夹角=AB与DF夹角=BC与DE夹角，∠ACB=∠FED，
所以∠FEK=FE与EK夹角=FE与AC夹角=DE与BC夹角．
因此∠IDF=∠FEK．
而ID=BA=CA=KE，DF=EF，
故△IDF≌△KEF，
故△AIF≌△AKF，
所以∠IAF=∠KAF=
而∠MGH=
所以MG∥EC∥KA，
因此GH∥AF．
解析
因为∠BAC=∠DFE，
所以∠IDF=ID与DF夹角=AB与DF夹角=BC与DE夹角，∠ACB=∠FED，
所以∠FEK=FE与EK夹角=FE与AC夹角=DE与BC夹角．
因此∠IDF=∠FEK．
而ID=BA=CA=KE，DF=EF，
故△IDF≌△KEF，
故△AIF≌△AKF，
所以∠IAF=∠KAF=
而∠MGH=
所以MG∥EC∥KA，
因此GH∥AF．
如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
正确答案
解析
解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；
综上C是错误的．
故选C．
设α为平面，m，n为直线（ ）
正确答案
解析
解：对于选项A，若m，n与α所成角相等，m，n也可能相交、平行、异面；故A错误；
对于选项B，若m∥α，n∥α，直线m，n也可能平行，也可能相交，还有可能异面；故B错误；
对于选项C，若m，n与α所成角互余，如与α所成角分别为30°和60°，直线m，n所成的角有可能为30°；故C错误；
对于选项D，根据线面垂直的性质，容易得到m⊥n；故D正确；
故选D．
我们知道，在初中学过的许多平面几何的定理在立体几何中并不一定成立．下面给出四个平面几何中的定理：①平行于同一条直线的两条直线必平行；②垂直于同一条直线的两条直线必平行；③两条平行线中的一条直线与第三条直线相交，则另一条直线也与第三条直线相交；④两条平行线中的一条直线与第三条直线垂直，则另一条直线也与第三条直线垂直．在立体几何中，仍然成立的有______（用序号作答）．
正确答案
①④
解析
解：对于①，若a∥b且b∥c，则根据公理4有a∥c
因此，平行于同一条直线的两条直线必平行，故①正确；
对于②，若直线l⊥平面α，直线a、b是α内相交的两条直线
根据线面垂直的定义，得到直线a、b都与直线l垂直，
但直线a、b不平行，故②不正确；
对于③，在空间若直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，且直线l∥m，
则直线l∥平面α，在平面α内与直线m相交的直线n，与直线l就没有公共点
直线n与平行线l、m中的一条相交，与另一条不相交，故③不正确；
对于④，设直线l、m互相垂直，说明它们的所成角为90°
若直线n与直线m平行，根据异面直线所成角的定义可得，
直线l、n所成角也为90°，说明直线l、n互相垂直，故④正确．
故答案为：①④
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC．
正确答案
证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2
在△ACD中，
∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，
∴DM=
∴
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4
∴
∴
∴MN∥PD．
又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
解析
证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2
在△ACD中，
∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，
∴DM=
∴
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4
∴
∴
∴MN∥PD．
又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
在下列命题中，真命题是（ ）
正确答案
解析
解：选项A错误，如图1所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，m∩n=A1．
选项B错误，如图2所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，m与β斜交．
选项C正确，证明如下：
∵直线m在平面α内的射影为一个点，
∴m⊥α
∵直线n在平面α内的射影为一条直线，
∴m与α斜交或者平行、或者n在平面α内
又∵m⊥n
∴n⊂α或n∥α
选项D错误，如图3所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，m∥n．
故选C．
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