- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
（I）若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由．
（II）求三棱锥的高．
正确答案
取BC的中点O，连接AO，
由俯视图可知，AO⊥平面BCDE，CD⊂平面BCDE，
所以AO⊥CD …（2分）
又CD⊥BC，AO∩BC=O，所以CD⊥面ABC，
因为BF⊂面ABC，
故CD⊥BF．
因为F是AC的中点，所以BF⊥AC．…（4分）
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD，
因为CM⊂面ACD，所以BF丄CM．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE，
又在正△ABC中，AO=
所VA-CDE=
在直角△ABE中，AE=
在直角梯形BCDE中，DE=
在直角△ACD中，AD=2
在△ADE中，S△ADE=
设三棱锥C-ADE的高为h，则VC-ADE=
又VA-CDEV=C-ADE，
可得
所以，三棱锥C-ADE的高为
解析
取BC的中点O，连接AO，
由俯视图可知，AO⊥平面BCDE，CD⊂平面BCDE，
所以AO⊥CD …（2分）
又CD⊥BC，AO∩BC=O，所以CD⊥面ABC，
因为BF⊂面ABC，
故CD⊥BF．
因为F是AC的中点，所以BF⊥AC．…（4分）
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD，
因为CM⊂面ACD，所以BF丄CM．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE，
又在正△ABC中，AO=
所VA-CDE=
在直角△ABE中，AE=
在直角梯形BCDE中，DE=
在直角△ACD中，AD=2
在△ADE中，S△ADE=
设三棱锥C-ADE的高为h，则VC-ADE=
又VA-CDEV=C-ADE，
可得
所以，三棱锥C-ADE的高为
在空间中下列结论中正确的个数是（ ）
①平行于同一直线的两直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；
③平行于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．
正确答案
解析
解：①④正确，②③错误
①：根据公理4可知：平行具有传递性，即如果a∥b，a∥c，那么b∥c，所以①正确；
②：如图1所示：在正方体AC1中，D1A1⊥A1A，B1A1⊥A1A，但是D1A1∩B1A1=A1，所以②错误；
③：如图1所示：A1C1∥平面ABCD，B1D1∥平面ABCD，但是A1C1与B1D1相交，所以③错误；
④：如图2所示：假设a⊥α，b⊥α，且a∩b=A，则过一点有两条直线均垂直于平面α，故假设错误，所以④正确．
故选B．
教室内有根棍子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与棍子所在直线（ ）
正确答案
解析
解：由题意，棍子所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与棍子所在直线垂直
若棍子所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，
由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直
综上，教室内有一棍子，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与棍子所在直线垂直
故答案为：B
正确答案
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．（4分）
又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC．（8分）
而PD∩BD=F，所以AC⊥平面PBD．DE⊂平面PBD，所以AC⊥DE．（14分）
解析
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．（4分）
又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC．（8分）
而PD∩BD=F，所以AC⊥平面PBD．DE⊂平面PBD，所以AC⊥DE．（14分）
如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（ ）
正确答案
解析
解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：
可以看出AB与CD异面；
如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB∥CE；
∴∠DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60°；
∴AB，CD异面但不垂直．
故选：D．
m和n分别是两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：①假设m⊥n，∵n与l既不垂直，也不平行，∴n∩l=O，
过O在β内作直线c⊥l，∵α⊥β，∴c⊥α，m⊂α，∴c⊥m，又m⊥n，c∩n=O，
∴m⊥β，l⊂β，∴m⊥l这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，
∴m不可能垂直于n，
同理：n也不可能垂直于m；
②假设m∥n，则m∥β，m⊂α，α∩β=l，∴m∥l这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，
故m、n不平行．
故选D
设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，
①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
②若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
④若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m；
则上述命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
②根据平行线的传递性，可得l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α，故②正确；
③由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n，故③正确．
④m⊂α，n⊥α，则n⊥m，∵l⊥n，∴可以选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能，如图所示，故④不正确
故正确的命题是②③
故选B．
过已知直线外一点可作 ______条直线与已知直线平行；可有作 ______条直线与已知直线垂直．
正确答案
1
无数
解析
解：根据过已知直线和直线外一点确定一个平面知，只能有一条直线与已知直线平行；
过已知直线外一点可作一个平面和直线垂直，根据线面垂直的定义，有无数条直线与已知直线垂直．
故答案为：1，无数．
两条异面直线在同一个平面内的射影一定是（ ）
正确答案
解析
解：如图，在正方体ABCD-EFGH中，M、N分别为BF、DH的中点，
连结MN、DE、CF、EG
当异面直线为EG、MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线
当异面直线为DE、BG所在直线时，
它们在底面ABCD内的射影分别为AD、BC，是两条平行直线
当异面直线为DE、BF所在直线时，
它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点
由此可得A、B、C都不正确，只有D项正确
故选：D
已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列4个命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；
③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；
④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α．其中正确的命题有______．
正确答案
②③
解析
解：对于①，m有可能也在α上，因此命题不成立；
对于②，过直线n作垂直于m的平面β，由m⊥α，n⊄α可知β与α平行，于是必有n与α平行，因此命题成立；
对于③，由条件易知m平行于β或在β上，n平行于α或在α上，因此必有m⊥n；
对于④，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立．
综上可知②③正确．
答案：②③
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