热门试卷

证明：（Ⅰ）∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，

∴MP∥BD，NP∥DD1，

∴平面MNP∥平面BDD1B1；

（Ⅱ）由已知，可得NP∥DD1，又DD1⊥底面ABCD，

∴NP⊥底面ABCD，

∴MN在底面ABCD的射影为MP，

∵M，N是AB，A1D1的中点，

∴MP∥BD，又BD⊥AC，

∴MP⊥AC，

∴MN⊥AC．

解：（1）证明：连接AN、BN、AC，

∵PA⊥面ABCD，且AC⊂面ABCD，

∴PA⊥AC，

∵N是PC的中点，

∴AN=PC，

∵BC⊥AB，

∴由三垂线定理得PB⊥BC，得BN=PC，

∴AN=BN，，∴MN⊥AB．

（2）解：假设MN是异面直线AB与PC的公垂线，则MN⊥PC，

连接CM、PM，由于N是PC的中点，∴CM=PM

∴△BCM≌△APM，∴BC=PA，∴DA=PA，

∵PA⊥面ABCD，平面ABCD是矩形，∴CD⊥面PAD，

∴PA⊥CD，AD⊥CD，

∴∠PDA为面PDC与面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PDA=θ，

∴当θ=时，MN为异面直线AB与PC的公垂线．

解：直线AB与CD的位置关系是垂直．

证明：∵α∩β=AB，∴AB⊂α，AB⊂β．

∵PC⊥α，∴PC⊥AB．

∵PD⊥β，∴PD⊥AB．

又PC∩PD=P

∴AB⊥平面PDC

∴AB⊥CD．

方法一：（1）证明：∵PB=PC，∴PO⊥BC

又∵平面PBC⊥平面ABCD

平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD（2分）

在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，

即AO⊥BD∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD（4分）

（2）解：∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD

∴DC⊥平面PBC∵PC⊂平面PBC，∴DC⊥PC

∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角（6分）

∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°（8分）

（3）证明：取PA，PB的中点M，N，连接CN

∵PC=BC，∴CN⊥PB①∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD∴AB⊥平面PBC（10分）

∵AB⊂平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB，CN⊥AB②

由①、②知CN⊥平面PAB

连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD

MN=AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形

∴CN∥DM

∴DM⊥平面PAB

∵DM⊆平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB（12分）

方法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，

由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD（1分）

以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与

AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系

O-xyz（2分）

（1）证明：∵CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2

在等边三角形PBC中，

∴

∴

∵

∴，即PA⊥BD（4分）

（2）解：取PC中点N，则

∵=（0，2，0），=（1，0，）

∴=（-）×0+0×2+×0=0

=（-）×1+0×0+×=0

∴⊥平面PDC，显然，且⊥平面ABCD

∴、所夹角等于所求二面角的平面角（6分）∵

∴∴二面角P-DC-B的大小为60°（8分）

（3）证明：取PA的中点M，连接DM，则M的坐标为

又（10分）

∴

∴，即DM⊥PA，DM⊥PB

∴DM⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．