热门试卷

（I）证明：在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D，

∵M为DE的中点，

∴A′M⊥DE，

∵A′M⊥BC，又DE与BC相交，

∴A′M⊥平面BCDE．

（II）由（I）知A′M⊥平面BCDE，则A′M是四棱锥A′-BCDE的高，

在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D=a，则A′M=a．

∵四边形BCDE是直角梯形，BE=BC=a，DC=2a，∴四边形BCDE的面积S==a2

∴四棱锥A′-BCDE的体积V=S•A′M+×a2×a=a3

（III）直线A′D与BC是异面直线，理由如下：

假设直线A′D与BC共面，则直线A′D与BC确定平面α，所以A′、D、B、C，都在平面α上

∵D，B，C确定平面BCDE，则A′在平面BCDE上，这与已知矛盾

∴直线A′D与BC是异面直线．

（1）连接A1D，A1B，知四边形CDA1B1是平行四边形

∴A1D∥B1C，∴∠A1DB或其补角是异面直线BD与B1C所成的角（2分）

又∵A1D=A1B=BD=a，∴∠A1DB=60°（3分）

∴异面直线BD与B1C所成的角是60°（4分）

（2）证明：由正方体知：⊥

⇒

⇒

⇒BD⊥AC1

（3）VA-ABD═×S△ABD×AA1=××a×a×a=a3（10分）

VC-ABD=VABCD-ABCD-4VA-ABD=a3-4×a3=a3（12分）

（1）取BD中点E，连接AE、A1E

∵△ABD中，AB=AD，E为BD中点

∴AE⊥BD，同理可得A1E⊥BD，

∵AE、A1E⊂平面A1AE，AE∩A1E=E

∴BD⊥平面A1AE，

∵AA1⊂平面A1AE，∴AA1⊥BD；

（2）∵AA1∥CC1，AA1⊂平面AA1B1B，CC1⊄平面AA1B1B，

∴CC1∥平面AA1B1B

∵CC1⊂平面CC1B1B，平面CC1B1B∩平面AA1B1B=BB1

∴BB1∥CC1，同理可得DD1∥CC1，

∴BB1∥DD1．

证明：在△ABD中，

∵E，H分别是AB，AD的中点

∴EH∥BD，EH=BD

同理，FG∥BD，FG=BD

∴EH∥FG，EH=FG

∴四边形EFGH是平行四边形．

证明：（1）设FD∩AE=O，连MO．

∵M、O分别为FC、FD的中点，

∴OMDC，

又∵ABDC，

∴ABOM．…2分

∴四边形ABMO为平行四边形．

∴BM∥AO，

∵AO⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF，

∴BM∥平面ADEF．…4分

（2）∵平面ADEF⊥平面ADCB，且CD⊥AD，

∴CD⊥平面ADEF．…6分

∴CD⊥AE，

在正方形ABCD中，FD⊥AE，

∴AE⊥平面CDF，

又∵AE⊂平面CDF，

∴FC⊥AE．…9分

（3）∵平面ADEF⊥平面ADCB，且FA⊥AD，

∴FA⊥平面ABCD，

∴点F到平面ABCD距离为FA=2

又∵M为FC中点，

∴点M到平面ABCD距离为FA=1

∴VF-ABCD=SABCD•FA=•（1+2）•2•2=2，VF-ABD=S△ABD•FA=••2•1•2=，VM-BCD=S△BCD•1=••2•2•1=，

∴VF-BDM=VF-ABCD-VF-ABD-VM-BCD=2--=．…14分．

证明：（I）取B1C1的中点Q，连A1Q，PQ

∵PB1=PC1，A1B1=A1C1，

∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ

∵A1Q∩PQ=Q

∴B1C1⊥平面A1PQ，∵PA1⊂平面A1PQ

∴PA1⊥B1C1；

（II）连BQ，在△PB1C1中，PB1=PC1=，B1C1=2，Q为中点，∴PQ=1

∵BB1=AA1=1

∴BB1=PQ

在平面PBB1CC1中，BB1⊥B1C1，PQ⊥B1C1∴BB1∥PQ

∴四边形BB1PQ为平行四边形

∴PB1∥BQ

∵BQ∥DC1

∴PB1∥DC1

∴PB1∥平面AC1D；

（III）三棱锥P-A1B1C1的体积为••22• 1 =

多面体ABD-A1B1C1的体积为•22• 1 -••22• 1• 2=．

∴多面体PA1B1DAC1的体积为+=．