- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E，F两点，则四边形EBFD1的形状为 ______
正确答案
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1DD1与平面BB1C1CP平行，
而经过对角线BD1的平面分别与这两个相交于D1E与BF，
根据面面平行的性质定理，故D1E∥BF，
同理可证BE∥FD1，
所以四边形EBFD1的形状为平行四边形，
故答案为平行四边形．
a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：①
④
其中正确的命题是______．（将正确的序号都填上）
正确答案
①符合平行的传递性，正确；
②不正确，a与b可能为异面直线；
③不正确，当α与β相交时，c与交线平行；
④与⑥正确，因为题意中三条直线均不在平面内；
⑤正确，平面也具有平行的传递性．
故答案为：①④⑤⑥．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1所在的平面相交于直线l，则l与AC的关系是______．
正确答案
∵AC∥底面A1B1C1D1
面A1B1C1∩面ACB1=l
∴AC∥l
故答案为：平行
设l、m、n是两两不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，A为一点，下列命题：
①若l∥α，l∥m，则m∥α；
②若l⊂α，m∩α=A，A∉l，则l与m必为异面直线；
③l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，且l与m为异面直线，则α∥β；
④若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；⑤α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．
其中正确的有：______（要求把所有正确的序号都填上）
正确答案
①若l∥α，l∥m，则m∥α不正确，因为可能为m⊂α；
②若l⊂α，m∩α=A，A∉l，则l与m必为异面直线，正确，由异面直线的定义即可得出l与m必为异面直线；
③l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，且l与m为异面直线，则α∥β，正确，由面面平等的判定定理及异面直线的位置关系可以判断出两平面平行；
④若α⊥β，l⊂α，则l⊥β，不正确，因为两个面垂直，一个面中的一条直线与另一个面的关系可能是平行也可能是相交，故l⊥β不一定正确；
⑤α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n，正确，由α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，可以判断出l∥m，l∥n，故有m∥n．
故答案为：②③⑤．
设m、n是平面α外的两条直线，给出列下命题：①m⊥α，m⊥n，则n∥α；②m⊥n，n∥α，则m⊥α；③m⊥α，n∥α，则m⊥n；④m∥α，n∥α，则m∥n．请将正确命题的序号填在横线上______．
正确答案
①m⊥α，m⊥n则根据与平面α的法向量垂直，则直线与平面平行，故正确
②m⊥n，n∥α，则m与α可能相交，也可能平行，故不正确
③与平面平行的直线与垂直的直线互相垂直，故正确
④m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面
故答案为①③
已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，则m平行于α内的无数条直线；
②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
④若α∥β，m⊂α，则m∥β；
⑤若α⊥β，α∩β=m，n经过α内的一点，n⊥m，则n⊥β．
上面命题中，真命题的序号是 ______（写出所有真命题的序号）．
正确答案
由题意：
①正确，∵若m∥α，∴则经过m的平面与平面α的交线都与直线m平行；
②错误，∵若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n没有公共点，∴m与n可能是异面直线；
③正确，∵m∥n，m⊥α，∴n⊥α，∵n⊥β，∴α∥β；
④正确，∵m⊂α，α∥β，∴m∩β=∅，∴m∥β；
⑤错误，当n⊂α时，n⊥β；当此点为两平面交线上的点时，则n⊄α，n与β不垂直．
故答案为：①③④．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l有______条．
正确答案
因为AD1∥BC1，所以过A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于 60°，即过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD1所成的角都等于 60°．
因为∠CAD1=60°，∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为60°，所以在平面ACD1内有一条满足要求．
因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°，
将角平分线绕点A向上转动到与面ACD1垂直的过程中，存在两条直线与直线AC和AD1所成的角都等于 60°；
故符合条件的直线有3条．
故答案为：3．
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线的位置关系是______．
正确答案
根据线面垂直的性质定理知
两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，
故答案为：平行
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是______．
①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β ②α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n
③α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n ④α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β
正确答案
①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；
②由空间想象易知命题正确；
③错，两直线可平行；
④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线n在平面α内时命题才成立．
故答案为②
设a，b，c是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若a，b异面，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β．；
③若α∩β=a，φ∩γ=b，γ∩a=c，且a∥b，则c∥β；
④若a，b为异面直线，a∥α，b∥α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α
其中正确的命题是______．
正确答案
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；也可能相交，不正确．
②若a，b异面，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β．由面面平行的判定定理知，正确．
③若α∩β=a，φ∩γ=b，γ∩a=c，且a∥b，则c∥β；由线面平行的判定定理知正确．
④若a，b为异面直线，a∥α，b∥α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α，由线面垂直的判定定理知，正确
故答案为：②③④
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