热门试卷

解：（1）因为AC=BC，D为AB的中点，

故CD⊥AB，

又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，

所以异面直线CC1和AB的距离为：CD==。

（2）由CD⊥AB，CD⊥BB1，

故CD⊥平面A1ABB1，

从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，

故∠A1DB1为所求的二面角A1-CD-B1的平面角

因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，

又已知AB1⊥A1C，

由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，

因此∠A1AB1=∠A1DA，

所以RT△A1AD∽RT△B1A1A，因此=，

得=AD·A1B1=8，

从而A1D==2，B1D=A1D=2

所以在三角形A1DB1中，cos∠A1DB1==。

（Ⅰ）证明：设O为AC中点，连结EO，BO，则EOC1C，

又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB，

∵AB=BC，

∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC，

故BO⊥平面ACC1A1，

∴ED⊥平面ACC1A1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。

（Ⅱ）解：连结A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，

∴A1E⊥AC1，

又由ED⊥平面A1ACC1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，

∴A1E⊥平面ADC1，作EF⊥AD，垂足为F，连结A1F，

则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角，

不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，

tan∠A1FE=，

∴∠A1FE=60°，

所以二面角A1-AD-C1为60°。

解：（1）设是的中点，连接、

在正三棱柱中，，平面，

∴是在面上的射影

易知≌，

又，

∴，，

∴；

（2）由（1）知平面，

作，垂足为，连结，

则为二面角的平面角

不妨设，则，，

在中，，

∴。

(Ⅰ)证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME⊥平面SAD，

连结AE，则四边形ABME为直角梯形，

作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形，

设ME=x，则SE=x，，

MF=AE=，FB=2-x，

由MF=FB·tan 60°，得，

解得x=1，即ME=1，

从而，所以M为侧棱SC的中点。

(Ⅱ)解：MB==2，

又∠ABM=60°，AB=2，所以△ABM为等边三角形．

又由(Ⅰ)知M为SC中点，，

故，

取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，

则BG⊥AM，GH⊥AM，

由此知∠BGH为二面角S-AM-B的平面角，

连结BH，在△BGH中，

，BH=，

所以，，

所以，二面角S-AM-B的大小为arccos。