简单的线性规划
共504题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

14．若不等式上恒成立，则实数a的取值范围为。

正确答案

a≥1

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知识点

不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．对于函数，，若存在，对任意的，都有，则称为“幅度函数”，其中称为在上的“幅度”。

（1）判断函数是否为“幅度函数”，如果是，写出其“幅度”；

（2）已知为正整数，记关于的函数的“幅度”为，求数列的前项和；

（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明理由．

正确答案

（1）

∴

∴ 是“幅度函数”，其“幅度”为2

（2）

∵ 在单调递增，在单调递减

∴ 当时，

当时，

∴ 的“幅度”

∴

（3）=

令是关于的减函数

∴

∴ ≤

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知识点

对数的运算性质由递推关系式求数列的通项公式等差数列的前n项和及其最值等比数列的基本运算不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知展开式的各项依次记为．设．

（1）若的系数依次成等差数列，求的值；

（2）求证：对任意，恒有．

正确答案

（1）依题意，，

的系数依次为，

，，

所以，

解得；

（2）

设，

则

考虑到，将以上两式相加得：

所以

又当时，恒成立，

从而是上的单调递增函数，

所以对任意，．

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知识点

等差数列的性质及应用不等式恒成立问题二项式系数的和或各项系数的和问题二项式定理的应用

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知函数．

（1）当时，解关于的不等式；

（2）对于给定的正数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立．求出的解析式；

（3）函数在的最大值为，最小值是，求实数和的值．

正确答案

（1）时，

由①得，，由②得，或，

∴为所求．

（2）∵，当，即时，

当，即时，

∴

（3），显然

①若，则，且，或，

当时，，不合题意，舍去

当时，

②若，则，且，或，

当时，，若，，符合题意；

若，则与题设矛盾，不合题意，舍去

当时，，

综上所述，和符合题意．

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知识点

二次函数在闭区间上的最值一元二次不等式的解法不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知函数．

（1）设，求的取值范围；

（2）关于的方程，，存在这样的值，使得对每一个确定的，方程都有唯一解，求所有满足条件的．

（3）证明：当时，存在正数，使得不等式成立的最小正数，并求此时的最小正数．

正确答案

（1）函数定义域，

，，，即的取值范围是

（2），由（1），，

在单调递增，所以．设，则，

即，即．故，存在，使得对每一个

，方程都有唯一解．

（3）

．

以下证明，对的数及数，

不等式不成立．

反之，由，亦即成立，

因为，，但，这是不可能的．

这说明是满足条件的最小正数．

这样，不等式恒成立，

即恒成立，

∴ ，最小正数=4

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知识点

函数的值域函数的最值及其几何意义不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．设二次函数在区间上的最大值为12，且关于的不等式的解集为

（1）求函数的解析式；

（2）若对于任意的时，不等式恒成立，求正数的取值范围。

正确答案

（1）设

∵ 在上最大值为12，

∴

（2），即：

∴

即，∴

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知识点

二次函数的图象和性质二次函数在闭区间上的最值不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

15. 已知不等式，若对任意且，该不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

正确答案

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知识点

不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．已知函数

（1）若，求不等式的解集；

（2）当方程恰有两个实数根时，求的值；

（3）若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围。

正确答案

（1）由得

当时，恒成立；∴

当时，，得或，又，∴

所以不等式的解集为

（2）由得

令

由函数图像知两函数图像在y轴右边只有一个交点时满足题意

即

由得

（3）

当时，，，

所以

当时

①当时，，即，

令

时，，

所以

时，，

所以，

所以

②当时，，

即

所以，

综上，的取值范围是

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知识点

画函数的图象不等式恒成立问题其它不等式的解法绝对值不等式的解法

题型：填空题

填空题 · 4 分

17.若时,不等式恒成立,则的取值范围是（）．

正确答案

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知识点

不等式恒成立问题

题型：单选题

单选题 · 4 分

16．若对任何，不等式恒成立，则一定有（）

正确答案

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知识点

不等式恒成立问题

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