线性回归方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w1 =1, ， =

22.根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

23.根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

24.已知这种产品的年利润z与x，y的关系为，根据（II）的结果回答下列问题：

（i）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；

解析

（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.

考查方向

本题考查了：非线性拟合；应用意识

解题思路

试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；

易错点

本题在寻求拟合函数比较易错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，

∴=563-68×6.8=100.6.

∴关于的线性回归方程为，

∴关于的回归方程为.

考查方向

本题考查了：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

易错点

在非线性回归方程进行预报预测；应用易错.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）46.24

解析

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值

=576.6，

.

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

，

∴当=，即时，取得最大值.

故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分

考查方向

本题考查了：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；

解题思路

（Ⅲ）（ⅰ）利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.

易错点

在非线性回归方程进行预报预测；应用易错.

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

表中w1 =1, ， =1

21.根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

22.根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

23.以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，为了探究车流辆与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的浓度的数据如下表：

19.根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

20.若周六同一时间段车流量是200万辆，试根据19题中求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度是多少？

附：线性回归方程中系数计算公式：

，，其中、表示样本均值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

试题分析：本题属于最小二乘法、回归直线方程的求法、线性回归分析，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

，，，

. 所以，.

故关于的线性回归方程是.

考查方向

本题考查了最小二乘法、回归直线方程的求法、线性回归分析等知识点。

解题思路

直接利用公式进行计算；

易错点

正确答案

．

解析

试题分析：本题属于最小二乘法、回归直线方程的求法、线性回归分析，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：当时，.可以预测此时PM2.5的浓度是微克/立方米．

考查方向

本题考查了最小二乘法、回归直线方程的求法、线性回归分析等知识点。

解题思路

根据回归直线方程进行估计．

易错点

正确答案

B

解析

画出散点图，可知>0，<0 ，所以选B

考查方向

本题考查线性回归直线与散点图之间的关系

解题思路

画出散点图，可知>0，<0

易错点

不理解数据与回归直线的关系而出错

知识点

线性回归方程

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

19.由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

20.建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：，，，≈2.646.

参考公式：相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；

解析

(I)由折线图中数据和附注中参考数据得，，

，，

因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系

考查方向

本题主要考查线性相关与线性回归方程的求法与应用等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）根据相关系数r公式求出相关数据后，然后代入公式即可求得r的值，最后根据其值大小回答即可；

易错点

对线性相关与线性回归方程的求法与应用理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）1.82亿吨

解析

（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，

.[来源:学+科+网]

所以，关于的回归方程为：

将2016年对应的代入回归方程得：.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

考查方向

本题主要考查线性相关与线性回归方程的求法与应用等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（II）利用最小乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据即可建立y关于t的回归方程，然后作预测。

易错点

对线性相关与线性回归方程的求法与应用理解出现错误、计算错误

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正确答案

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