直线与圆相交的性质
共61题

· 直线与圆相交的性质

直线与圆相交的性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知圆，直线

（1）若与相切，求的值；

（2）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），若存在，求出，若不存在，请说明理由。

正确答案

（1）由圆方程配方得（x+1）2+（y－3）2=9，

圆心为C（－1，3），

半径为 r = 3，

若 l与C相切，

则得=3，

∴（3m－4）2=9（1+m2），

∴m =．

（2）假设存在m满足题意。

由

（m2+1）y2－（8m+6）y+16=0，

由△=（8m+6）2－4（m2+1）·16>0，

得m>，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=，y1y2=．

=x1x2+y1y2

=（3－my1）（3－my2）+y1y2

=9－3m（y1+y2）+（m2+1）y1y2

=9－3m·+（m2+1）·

=25－=0

24m2+18m=25m2+25，m2－18m+25=0，

∴m=9±2，适合m>，

∴存在m=9±2符合要求．

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知识点

平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

5．直线l过点（，0）且与圆交于A.B两点，如果|AB|=8，那么直线l的方程为（）

B或

D或

正确答案

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知识点

直线的一般式方程直线与圆相交的性质

题型：简答题

简答题 · 15 分

19. 已知椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点。

（1）求圆C的方程；

（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；

（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

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知识点

圆的标准方程直线与圆相交的性质椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

9.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为　　　　。

正确答案

解析

如图，

∵S△AOB=|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB≤，

当∠AOB=时，S△AOB面积最大，

此时点O到AB的距离d=.

设AB的方程为y=k(x－)(k<0)，即kx－y－k=0，

由d==，得k=－.

知识点

直线的倾斜角与斜率直线与圆相交的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

3.直线y=kx+3与圆(x-)2+(y-3)2=相交于M，N两点，若|MN|≥，则k的取值范围是（）

A[-，0]

B[-，]

C[-，]

D[-，0]

正确答案

解析

如图，设圆的圆心为C(，3)，

作CD⊥MN于点D，则|CD|=，|MN|=2|MD|==≥

即≥，解得-≤k≤，故选B.

知识点

直线与圆相交的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

4.已知圆面C：(x－a)2+y2≤a2－1的面积为S，平面区域D：2x+y≤4与圆面C的公共区域的面积大于S，则实数a的取值范围是（）

A(-∞，2)

B(-∞，2]

C(-∞，-1)∪(1，2)

D(-∞，-1)∪(1，2]

正确答案

解析

依题意并结合图形（图略）分析可知

圆面C：(x-a)2+y2≤a2－1的圆心(a，0)应在不等式2x+y≤4表示的平面区域内

则有，由此解得a<-1或1<a<2.

因此实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(1，2).

知识点

二元一次不等式（组）表示的平面区域直线与圆相交的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

5.若圆C：(x－2a)2+(y－a)2=(a+1)2与两个坐标轴均有公共点，则实数a的取值范围是（）

A(－∞，－]

B[－，1]

C[－，1]

D[－，－]

正确答案

解析

要圆C与两个坐标轴均有公共点，只需要圆心到两个坐标轴的距离小于等于或半径，

即，得－≤a≤1，故选C.

知识点

直线与圆相交的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

16.若不等式≤k(x+2)－的解集为区间[a，b]，且b－a=2，则k= 。

正确答案

解析

令y1=，y2=k(x+2)－

其中－3≤x≤3，在同一个坐标系中作出y1，y2的图象，如图所示.

由≤k(x+2)－的解集为[a，b]，且b－a=2，

结合图象知b=3，a=1，即直线y2与圆y1的交点坐标为(1，).

又因为点(－2，－)在直线y2上，所以k==.

知识点

直线与圆相交的性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

20.如图，轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆上运动时。

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。

正确答案

解:（1）设点的坐标为，点的坐标为，

则，，所以，， ①

因为在圆上，所以 ②

将①代入②，得点的轨迹方程C的方程为．

（2）由题意知，．

当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为

此时，当时，同理可得；

当时，设切线的方程为

由

得③

设A、B两点的坐标分别为，则由③得：

．

又由l与圆相切，得即

所以

因为且当时，|AB|=2，

所以|AB|的最大值为2

依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，

所以面积，

当且仅当时，面积S的最大值为1，

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知识点

直线与圆相交的性质直线与圆锥曲线的综合问题相关点法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

14. 已知过点的直线被圆所截得的弦长为10，求直线的方程为。

正确答案

【答案】x－3y－6=0 ，

解析

由已知可得圆的半径为5，而弦长刚好等于直径，所以直线经过圆心，由直线方程的两点式方程可以求出直线的方程为x－3y－6=0。

考查方向

本题主要考查了圆的一般方程，点到直线的距离。

解题思路

本题可以将已知条件转化到弦长和半径以及圆心到直线的距离所构成的直角三角形中去利用勾股定理算出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离构造一个关于斜率的方程解出即可。

易错点

本题不知道将已知转化到弦长和半径以及圆心到直线的距离所构成的直角三角形中去求解。

知识点

直线的一般式方程直线与圆相交的性质

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