热门试卷

（1）由题意得：＞0，∴-1＜x＜1，∴函数的定义域为：（-1，1）；

（2）定义域关于原点对称，f（-x）=lg=-lg=-f（x），∴函数是奇函数；

（3）若a、b∈D，f（a）+f（b）=lg+lg=lg，

f（）=lg=lg，∴f（a）+f（b）=f（）．

解（1）∵y=f（x）是奇函数，

∴对任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即loga+loga=0．

化简此式，得（m2-1）x2-（2m-1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），

必有，解得m=1．

∴f(x)=loga，D=(-1，1)．

（2）当0＜a＜1时，函数f(x)=loga在D=(-1，1)上是单调增函数．

理由：令t==-1+．

易知1+x在D=（-1，1）上是随x增大而增大，在D=（-1，1）上是随x增大而减小，

故t==-1+在D=（-1，1）上是随x增大而减小

于是，当0＜a＜1时，函数f(x)=loga在D=(-1，1)上是单调增函数．

（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）

∴0＜a＜1，a＜b≤1．

∴由（2）知，函数f(x)=loga在A上是增函数，即f(a)=1，loga=1，

解得a=-1(舍去a=--1)．

若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为[1，loga)，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，

∴必有b=1．

因此，所求实数a、b的值是a=-1、b=1．

（Ⅰ）令t=log12x，所以x=()2t，所以有f（t）==

所以f（x）=．此函数的定义域为R，因为f（-x）====-=-f(x)

所以函数f（x）为定义域上的奇函数．

（Ⅱ）函数f（x）为实数集上的减函数．

证明：设x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，

则f(x1)-f(x2)=-=

=．因为x1＜x2，所以4x2-4x1＞0，所以＞0，

所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）为实数集上的减函数．

当x＞0时，-x＜0，∵x＜0时，f（x）=xlg（2-x），

∴f（-x）=-xlg（2+x），

又f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）

即f（-x）=-xlg（2+x）=-f（x），

所以f（x）=xlg（2+x）．

即x＞0时，f（x）=xlg（2+x）．

（1）原不等式等价于即，即∴x≥，所以原不等式的解集为{x|x≥}

（2）由题意可知x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立等价于x∈[0，1]时，有

即恒成立

故x∈[0，1]时，t≥-2x+恒成立，于是问题转化为求函数y=-2x+x∈[0，1]的最大值，令μ=，则x=μ2-1，μ∈[1，]．

而y=-2x+=-2(μ-)2+在[1，]上是减函数，

故当μ=1即x=0时，-2x+有最大值1，所以t的取值范围是t≥1．

（1）⇔-1＜x＜0或0＜x＜1，

故f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）；

（2）∵f(-x)=--log2=-(-log2)=-f(x)，

∴f（x）是奇函数；

（3）设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=(-)+(log2-log2=+log2

∵0＜x1＜x2＜1，∴x2-x1＞0，x1x2＞0，

（1-x1）（1+x2）=1-x1x2+（x2-x1）＞1-x1x2-（x2-x1）=（1+x1）（1-x2）＞0

∴＞1， log2＞0，＞0

∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减．

另f′(x)=-(+log2e)∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0

故f（x）在（0，1）内是减函数．