热门试卷

（I）∵已知f(x)=是R上奇函数，故有f（0）=0，解得b=-1．

又∵f（-1）=-f（1），∴=-，解得 a=2．

此时，f（x）=，经过检验，此函数为奇函数．

（II）∵f（x）=-，故函数在R上是单调增函数，故不等式等价于

 3(log3x)2+2log3x＞2(log3x)2+3，(log3x)2+2log3x-3＞0，

解得 log3x＜-3，或 log3x＞1，即 0＜x＜，或 x＞3，

故不等式的解集为 {x|0＜x＜，或 x＞3 }．

（1）f（-x）=lg（-x+）-lg

=lg-lg

=lg-lg（x+）

=-f（x）

∴f（x）为奇函数；

（2）令y=x+

则y′=1+ =

因为x2+2＞x2，所以y′＞0，所以y=x+在R上为增函数，

故f（x）是R上的增函数．

解  （1）因为函数f（x）是实数集R上的奇函数，所以对任意的x∈R，都有f（-x）=-f（x）．

所以f（-1）=-f（1）．

因为当x＞0时，f（x）=log2x+x-3，所以f（1）=log21+1-3=-2．

所以 f（-1）=-f（1）=2．                           …（3分）

（2）当x=0时，f（0）=f（-0）=-f（0），解得f（0）=0；

当x＜0时，-x＞0，所以f（-x）=log2（-x）+（-x）-3=log2（-x）-x-3．

所以-f（x）=log2（-x）-x-3，从而f（x）=-log2（-x）+x+3．

所以f（x）=（6分）          

（3）证明：因为f（2）=log22+2-3=0，所以方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有解x=2．

又方程f（x）=0可化为log2x=3-x．

设函数g（x）=log2x，h（x）=3-x．

由于g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，h（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，

所以，方程g（x）=h（x） 在区间（0，+∞）上只有一个解．

所以，方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解．                          …（10分）

说明：指出有解（2分），指出单调性（2分）．

（Ⅰ）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]，故f（-x）=-ax+ln（-x）．

又f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，∴-f（x）=-ax+ln（-x），

∴f（x）=ax-ln（-x），故f（x）=．

（Ⅱ）假设存在实数a＜0，使得当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值是3，

则由f′（x）=a-= 知，

①当≤-e，即-≤a＜0时，由x∈[-e，0）得f′（x）≥0，故f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函数，

故f（x）的最小值为f（-e）=-ae-1=3，解得 a=-＜- （舍去）．

②当x∈（0，e]，即a＜-，则有当x∈[-e，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）的最小值等于 f（）=1-ln（-）=3，

解得 a=-e2．

综上，存在实数a=-e2，似的当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值是3．

（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，

∴g（0）=0，即=0⇒n=1，…（3分）

∵f(x)=log4(4x+1)+mx，

∴f(-x)=log4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x，

∵f（x）是偶函数，

∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故m=-，

综上所述，可得m+n=；…（4分）

（2）∵h(x)=f(x)+x=log4(4x+1)，

∴h[log4（2a+1）]=log4（2a+2），…（2分）

又∵g(x)==2x-2-x在区间[1，+∞）上是增函数，

∴当x≥1时，g(x)min=g(1)=…（3分）

由题意，得⇔-＜a＜3，

因此，实数a的取值范围是：{a|-＜a＜3}．…（3分）

（1）∵奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x），∴f（x+2）=-f（x）=f（x-2），∴周期是4，故有f（x+4）=f（x）

（2）f(log1218)=f（-1-2log23）=f(-3-2log2)=f(1-2log2)=f(log2)=2log289=

（1）f（x）为奇函数．

证明如下：

由＞0得函数的定义域为（-1，1），

又f（-x）=loga=loga()-1=-loga=-f（x），

所以，f（x）为奇函数．

（2）由题意：当0＜a＜1时，有解得0＜x＜1；

当a＞1时，有解得-1＜x＜0；

综上，当0＜a＜1时，0＜x＜1；  当a＞1时，-1＜x＜0．

（1）由＞0得函数f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，

又f(x)+f(-x)=log2+log2=0

所以函数f（x）为奇函数

（2）证明：f(x1)+f(x2)=log2+log2=log2(•)=log2f()=log2=log2；

∴f(x1)+f(x2)=f()；

（3）由（2）的结论知f(a)+f(b)=f()=1

又由（1）知f(b)=-f(-b)=-；

∴f(a)=1-f(b)=1+=．