热门试卷

（1）由＞0得-1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（-1，1）；              （2'）

因为f（-x）+f（x）=log2+log2=log2•=log21=0，

所以f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．                                       （4'）

（2）方程f（x）=log2（x-k）有实根，也就是方程=x-k即k=x-在（-1，1）内有解，

所以实数k属于函数y=x-=x+1-在（-1，1）内的值域．                  （6'）

令x+1=t，则t∈（0，2），因为y=t-在（0，2）内单调递增，所以t-∈（-∞，1）．

故实数k的取值范围是（-∞，1）．                                            （8'）

（3）设g（x）=f（x）-x-1=log2-x-1（-1＜x＜1）．

因为()4=＜8=23，且y=log2x在区间（0，+∞）内单调递增，所以log2()4＜log223，

即4log2＜3，亦即log2＜．

于是g（-）=log2-＜0．                 ①（10'）

又∵g（-）=log2-＞1-＞0．                                    ②（12'）

由①②可知，g（-）•g（-）＜0，

所以函数g（x）在区间（-，-）内有零点x0．

即方程f（x）=x+1在（-，-）内有实根x0．                                  （13'）

又该区间长度为，因此，所求的一个区间可以是（-，-）．（答案不唯一）      （14'）

（1）若使f（x）-g（x）的解析式有意义

须使f（x）=loga（3+2x），g（x）=loga（3-2x）的解析式都有意义

即   

 解得：-＜x＜

所以函数f（x）-g（x）的定义域是（-，）

（2）函数f（x）-g（x）是奇函数，理由如下：

由（1）知函数f（x）-g（x）的定义域关于原点对称

又∵f（-x）-g（-x）=loga（3-2x）-loga（3+2x）

=-[loga（3+2x）-loga（3-2x）]=-[f（x）-g（x）]

∴函数f（x）-g（x）是奇函数

若f（x）-g（x）＞0，即loga（3+2x）＞loga（3-2x）

当a＞1，则3+2x＞3-2x，解得x＞0，由（1）可得此时x的取值范围（0，）

当0＜a＜1，则3+2x＜3-2x，解得x＜0，由（1）可得此时x的取值范围（-，0）

（1）、设y=ln（ex+a），a＞0，则ey=ex+a，∴ex=ey-a，a＞0，∴x=ln（ey-a），x，y互换得到函数y=f（x）的反函数f-1（x）=ln（ex-a），x∈R；f′（x）=．

（2）、由|m-f-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（ex-a）-ln（ex+a）+x＜m＜ln（ex-a）+ln（ex+a）-x．

设ϕ（x）=ln（ex-a）-ln（ex+a）+x，ψ（x）=ln（ex-a）+ln（ex+a）-x，

于是原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于ϕ（x）＜m＜ψ（x）．

由ϕ′(x)=-+1，ψ′(x)=+-1，注意到0＜ex-a＜ex＜ex+a，故有ϕ'（x）＞0，ψ'（x）＞0，从而可ϕ（x）与ϕ（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上单调递增，因此不等式ϕ（x）＜m＜ψ（x）成立当且仅当ϕ（ln（4a））＜m＜ψ（ln（3a））．即ln(a)＜m＜ln(a).

（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，

∴f′(x)=-1=，

由f′(x)=＞0，得-1＜x＜0；由f′(x)=＜0，得x＞0；

所以y=f（x）在（-1，0）为增，在（0，+∞）为减，

所以x=0时，f（x）取最大值0．

（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，

等价于a＞恒成立，

设g(x)=⇒g′(x)=，

设h(x)=-ln(x+1)⇒h′(x)=-=＜0(x≥1)，

所以h（x）是减函数，所以h(x)≤h(1)=-ln2＜0(4＞e⇒2＞e12)，

所以g（x）是减函数，gmax（x）=g（1），所以a＞ln2

（3）要证•••…•＜e，

只需证ln+ln+…+ln＜1

只需证ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)＜1

因为ln(1+)＜=-，

所以ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)＜1-＜1．

故•••…•＜e．

（1）令＞0，解得-1＜x＜1，故f（x）的定义域为（-1，1）；

（2）∵f(-x)=log13=-log13=-f（x）

∴f（x）是奇函数

（3）∵f（a）＞1

∴log13＞1=log13

∴＜又定义域为（-1，1）

∴-1＜a＜-