- 对数函数
- 共8722题
设奇函数f(x)的定义域为R,且周期为5,若f(1)<-1,f(4)=log2a,则实数a的取值范围是______.
正确答案
根据题意,由f(x)为奇函数,可得f(1)=-f(-1),
又由f(1)<-1,则-f(-1)<-1,则f(-1)>1,
又由f(x)周期为5,则f(-1)=f(4)=log2a,
则有log2a>1,
解可得a>2;
故答案为a>2.
定义在R上的奇函数f (x),已知x>0时,f (x)=log2x,则方程f (x)=1的解集是______.
正确答案
∵x>0时,f (x)=log2x,
∴当x<0时,-x>0,f(-x)=log2(-x),
又∵f (x)为R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=log2(-x),f(x)=-log2(-x),
∴f(x)=,又f (x)=1,
∴当x>0时,log2x=1,解得x=2;
当x<0时,-log2(-x)=1,解得x=-.
故答案为:{2,-}.
已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,则不等式f(1)<f(lgx)的解集为______.
正确答案
根据偶函数的性质可知f(x)在区间(-∞,0)单调减,
∵f(1)<f(lgx)
∴有 或
,
解得x>10,或0<x<;
故答案为{x|0<x<或x>10}
若函数f(x)=lg为偶函数,则实数a=______.
正确答案
∵函数f(x)=lg为偶函数,∴
=
,即
=
,
解得 a=1,
故答案为 1.
设f(x)=lg(+a)是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是______
正确答案
依题意,得f(0)=0,即lg(2+a)=0,所以,a=-1,f(x)=lg,
又f(x)<0,所以,0<<1,解得:-1<x<0.
故答案为:(-1,0).
若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0,)恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间是______.
正确答案
函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0,)恒有f(x)>0,
由于x∈(0,),得2x2+x∈(0,1),又在区间(0,
)恒有f(x)>0,故有a∈(0,1)
对复合函数的形式进行,结合复合函数的单调性的判断规则知,
函数的单调递增区间为(-∞,-)
故应填(-∞,-)
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x),又当x∈(0,1)时,f(x)=2x-1,则f(log126)的值等于______.
正确答案
由题意函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x),可得其周期是2
又-3=log128<log126<log124=-2
故-1<log126+2<0,即-1<log2<0,可得1>log2
>0
∴f(log126)=f(log126+2)=f(log2)
又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(log126)=f(log2)=-f(log2
)=-2log232+1=-
故答案为:-.
设a,b∈R,且a≠2,若定义在区间(,a+b)内的函数f(x)=lg
是奇函数,2a+b的值是______
正确答案
∵定义在区间(,a+b)内的函数f(x)=lg
是奇函数
∴
解得:a=-2,b=
∴2a+b=-
故答案为:-
已知函数f(x)=则f(lg30-lg3)=______;不等式xf(x-1)<10的解集是______.
正确答案
f(lg30-lg3)=f(lg10)=f(1)=-2,
f(x-1)=
当x≥3时,x(x-3)<10⇔-2<x<5,故3≤x<5.
当x<3时,-2x<10⇔x>-5,故-5<x<3.
总综上知x∈(-5,5).
故应依次填:-2; {x|-5<x<5}
若函数f(x)具有性质:f()=-f(x),则称f(x)是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数:
①f(x)=logax(a>0且a≠1);
②f(x)=ax(a>0且a≠1);
③y=x-;
④f(x)=.
其中,满足“倒负”变换的所有函数的序号是______.
正确答案
对于f(x)=logax,f()=loga
=-logax=-f(x),所以①是“倒负”变换的函数.
对于f(x)=ax,f()=a1x≠-f(x),所以②不是“倒负”变换的函数.
对于函数f(x)=x-,f(
)=
-x=-f(x),所以③是“倒负”变换的函数.
对于④,当0<x<1时,>1,f(x)=x,f(
)=x=-f(x);
当x>1时,0<<1,f(x)=-
,f(
)=
=-f(x);
当x=1时,=1,f(x)=0,f(
)=f(1)=0=-f(x),④是满足“倒负”变换的函数.
综上:①③④是符合要求的函数.
故答案为:①③④
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