- 对数函数
- 共8722题
设logax=logby=2，a+b=2，则x+y的取值范围为______．
正确答案
∵logax=logby=2
∴x=
又∵a+b=2
∴x+y=
又∵a+b=2≥2
∴ab≤1
∵a，b是对数的底数
∴a≠1 b≠1
∴a+b＜1
∴x+y＞4-2=2
故答案为：（2，+∞）
已知不等式 loga（a2+1）＜loga2a＜0，则a的取值范围是______．
正确答案
当a＞1时，loga（a2+1）＞0，＜loga2a＞0
原不等式不成立
当0＜a＜1时，原不等式可转化为：（a2+1）＞2a＞1
解得：
综上，a的取值范围是：
故答案为：
已知α、β是方程ln2x-lnx2-2=0的两个根，则logαβ+logβα=______．
正确答案
∵α、β是方程ln2x-lnx2-2=0的两个根，∴lnα和 lnβ是方程t2-2t-2=0的两个根，
∴lnα+lnβ=2，lnα•lnβ=-2．
∴logαβ+logβα=
故答案为：-4．
设lg2=a，lg3=b，那么lg
正确答案
lg
=
=
=
故答案为 
若lg（x-y）+lg（x+2y）=lg2+lgx+lgy，求
正确答案
∵lg（x-y）+lg（x+2y）=lg2+lgx+lgy，∴lg（x-y）（x+2y）=lg2xy．
∴（x-y）（x+2y）=2xy，即 （x-2y）（x+y）=0．
再由x、y都是正数可得x+y≠0，∴x-2y=0，
∴
解下列方程：
（1）lg（x-1）+lg（x-2）=lg（x+2）；
（2）2•（log3x）2-log3x-1=0．
正确答案
（1）原方程可化为 lg（x-1）（x-2）=lg（x+2）
所以（x-1）（x-2）=x+2
即x2-4x=0，解得x=0或x=4
经检验，x=0是增解，x=4是原方程的解．
所以原方程的解为x=4
（2）设log3x=y，代入原方程得 2y2-y-1=0．
解得 y1=1，y2=-
log3x=1，得 x1=3；
由log3x=-
经检验，x1=3，x2=
已知函数f(x)=log2(4x)•log2(2x)，
（1）设t=log2x，求t的取值范围；
（2）求f（x）的最值，并给出函数取得最值时相应的x的值．
正确答案
（1）∵t=log2x，
∴log2
∴-2≤t＜2，即t的取值范围是[-2，2）．
（2）f（x）=log2（4x）•log2（2x）=（log24+log2x）（log22+log2x）
=（2+log2x）（1+log2x）=（2+t）（1+t）
=t2+3t+2=(t+
∵-2≤t＜2，
当t=-
f（x）无最大值．
已知函数f(x)=loga(
1）求实数m的值；
2）求f（x）的反函数f-1（x）；
3）若两个函数F（x）与G（x）在[p，q]上恒满足|F（x）-G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在[p，q]上是分离的．试判断函数f（x）的反函数f-1（x）与g（x）=ax在[1，2]上是否分离？若分离，求出a的取值范围；若不分离，请说明理由．
正确答案
1）f（x）为奇函数⇒f（x）+f（-x）=0⇒m=1
2）ay=
∴（ay-x）2=x2+1
即x=
∴f-1(x)=
3）f-1(x)=
记h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=
假设f-1（x）与g（x）在[1，2]是分离的，，则h（ax）＞2在x∈[1，2]上恒成立，
即 h（ax）min＞2．
①当a＞1时，x∈[1，2]，ax∈[a，a2]，h（ax）在ax∈[a，a2]上单调递增，h(ax)min=h(a)=
②当0＜a＜1时，x∈[1，2]，ax∈[a2，a]，h（ax）在ax∈[a2，a]上单调递减，h(ax)min=h(a)=
故a的取值范围是：(0，2-
关于x的方程（lgx）2+（lg2+lg3）lgx+lg2•lg3=0的两根为x1，x2，那么lg（x1x2）=______．
正确答案
设lgx=t，则t2+（lg2+lg3）t+lg2•lg3=0，
设t1，t2是t2+（lg2+lg3）t+lg2•lg3=0的两根，
则有t1+t2=-（lg2+lg3）=lg
故答案为-lg6．
若函数f（x）=logax（其中a＞0且a≠1）在x∈[2，+∞）上总有|f（x）|＞1成立，求a的取值范围．
正确答案
（1）若a＞1，x≥2时，logax＞0，
由|f（x）|＞1得f（x）＞1，即logax＞1恒成立．
∴x＞a恒成立，∴1＜a＜2．
（2）若0＜a＜1，x≥2时logax＜0，
由|f（x）|＞1得f（x）＜-1．即logax＜-1恒成立，也即x＞
∴
综上，a的取值范围为（
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