热门试卷

∵2（logx）2+9（logx）+9≤0，

∴（2logx+3）（logx+3）≤0．

∴-3≤logx≤-．

即log（）-3≤logx≤log（）-

∴（）-≤x≤（）-3，即2≤x≤8．

从而M=[2，8]．

又f（x）=（log2x-1）（log2x-3）=（log2x）2-4log2x+3=（log2x-2）2-1．

∵2≤x≤8，

∴≤log2x≤3．

∴当log2x=2，即x=4时ymin=-1；

当log2x=3，即x=8时，ymax=0．

（1）因为函数f（x）=loga（ax-1）的定义域解不等式ax-1＞0的解集，

当a＞1时，不等式ax-1＞0等价于ax＞a0，即x＞0；

当0＜a＜1时，不等式ax-1＞0等价于ax＞a0，即x＜0．

所以函数f（x）的定义域是（0，+∞）或（-∞，0），所以图象f（x）总在y轴的一侧；

（2）由y=loga（ax-1）得ax=ay+1，即x=loga（ay+1），所以f-1（x）=loga（ax+1），

∴，消去y，得a2x-ax-2=0，解得ax=-1或ax=2，

解得∴函数y=f（2x）与y=f-1（x）的图象的公共点的坐标是（loga2，loga3）．

（1）将函数f（x）=log2（x+1）的图象向左平移1个单位，可得函数y=log2（x+2）的图象，

再将图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2log2（x+2）的图象，

故函数g（x）=2log2（x+2），且x＞-2．…（4分）

（2）函数y=F（x）=f（x-1）-g（x）=log2（x）-2log2（x+2）=log2，x＞0．…（6分）

令u(x)=，x＞0，则u==≤，当且仅当x=2时取等号．

故F（x）=log2u，由于F（x）=log2u 在（0，+∞）上是增函数，…（10分）

故当x=2时，即u=时，函数y=F（x）=log2u取得最大值为 log2=-3． …（12分）

证明：（1）由ax-1＞0得：ax＞1，

∴当a＞1时，x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），

此时函数f（x）的图象在y轴的右侧；

当0＜a＜1时，x＜0，即函数f（x）的定义域为（-∞，0），

此时函数f（x）的图象在y轴的左侧．

∴函数f（x）的图象在y轴的一侧；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意两点，且x1＜x2，

则直线AB的斜率k=，

y1-y2=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga，

当a＞1时，由（1）知0＜x1＜x2，∴1＜ax1＜ax2，

∴0＜ax1-1＜ax2-1，

∴0＜＜1，∴y1-y2＜0，又x1-x2＜0，∴k＞0；

当0＜a＜1时，由（1）知x1＜x2＜0，∴ax1＞ax2＞1，

∴ax1-1＞ax2-1＞0，

∴＞1，∴y1-y2＜0，又x1-x2＜0，∴k＞0．

∴函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．

证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而=

考虑函数y=(0＜x＜+∞)，它的导数是y′=.

因为在（0，1）内f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内是增函数

由于0＜a＜1，b＞0，所以ab＜1，从而ba=ab＜1．由ba＜1及a＞0，

可推出b＜1．

由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，

则根据f（x）在（0，1）内是增函数，

得f（a）≠f（b），即≠，

从而ab≠ba这与ab=ba矛盾

所以a=b

证二：因为0＜a＜1，ab=ba，

所以blogaa=alogab，即=logab

假如a＜b，则＞1，但因a＜1，

根据对数函数的性质，

得logab＜logaa=1，从而＞logab，这与=logab矛盾

所以a不能小于b

假如a＞b，则＜1，而logab＞1，这也与=logab矛盾

所以a不能大于b，因此a=b

证三：假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0

由于0＜a＜1，ε＞0，

根据幂函数或指数函数的性质，得aε＜1和(1+)a＞1，

所以aε＜(1+)a，aaaε＜aa(1+)a，aa+ε＜(a+ε)a，

即ab＜ba．这与ab=ba矛盾，所以a不能小于b

假如b＜a，则b＜a＜1，可设a=b+ε，其中ε＞0，同上可证得ab＜ba．

这于ab=ba矛盾，所以a不能大于b

因此a=b