热门试卷

解：函数的定义域为；

在定义域内是奇函数；

在定义域上是减函数。

是增函数．证明如下：

设t=logax，则x=at，

∴f(t)=•，

即f(t)=(at-a-t)．

∴f(t)=(ax-a-x)．

∵f（x）的定义域为R，

设x1＜x2，则

f（x1）-f（x2）=[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=•．

∵a＞0，a≠1，

∴ax1ax2＞0，1+ax1ax2＞0．

若0＜a＜1，则ax1＞ax2，ax1-ax2＞0．

此时＜0，

∴f（x1）＜f（x2）．

同理，若a＞1，则f（x1）＜f（x2）．

综上所述，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上单调递增．

解：（1）

所以在上单增

当时，。

（2）

由（1）知，当x<0时，，既有

故

于是

即

利用推广的均值不等式：

则。

（1）∵x+y=12，xy=9，且x＞y，

∴＞0

且（）2===

∴=，

（2）lg25+lg8+lg5•lg20+(lg2)2

=lg25+lg4+lg5•lg20+（lg2）2

=2+（1-lg2）•（1+lg2）+（lg2）2

=2+1

=3

（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），

所以loga=loga，…（2分）

即1-m2x2=1-x2对一切x∈D都成立，…（3分）

所以m2=1，m=±1，…（4分）

由于＞0，所以m=-1…（5分）

所以f（x）=loga，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分）

（2）当a＞1时，f（x）=loga，任取x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，…（7分）

则f（x1）-f（x2）=loga-loga=loga（+1）-loga（+1）…（9分）

由于x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，所以+1＞+1，得f（x1）＞f（x2），…（10分）

【注】只要写出x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，f（x1）-f（x2）=…=…，得出f（x1）＞f（x2）即可．

即f（x）在（1，+∞）上单调递减…（11分）

同理可得，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 …（13分）

（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），

1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）

所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）

即loga=loga=1，即=a，…（16分）

所以a=2+且r=1 …（18分）

2°当r＜1时，则（r，a-2）⊈（-∞，-1），所以0＜a＜1

因为f（x）在（r，a-2）上为增函数，

所以f（r）=1，a-2=-1，

解得a=1与a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）