对数函数_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

设函数f（x）=lg（x2+ax-a-1），给出下述命题：①f（x）有最小值；②当a=0时，f（x）的值域为R；③若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4．则其中正确的命题的序号是______．

正确答案

①f（x）有最小值不一定正确，因为定义域不是实数集时，函数f（x）=lg（x2+ax-a-1）的值域是R，无最小值，题目中不能排除这种情况的出现，故①不对．

②当a=0时，f（x）的值域为R是正确的，因为当当a=0时，函数的定义域不是R，即内层函数的值域是（0，+∞）故（x）的值域为R故②正确．

③若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4．是不正确的，由f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，可得内层函数的对称轴-≤2，可得a≥-4，由对数式有意义可得4+2a-a-1＞0，解得a＞-3，故由f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，应得出a＞-3，故③不对．

综上，应填 ②

1

题型：简答题

|

简答题

已知：函数f（x）=log2 ．

（1）判断函数f（x）的奇偶性；

（2）证明函数f（x）有性质：f(x)+f(y)=f()．

正确答案

（1）由＞0得：-1＜x＜1，

由f（-x）=log2=log2（） -1=-f（x）

故知f（x）为奇函数

（2）f(x)+f(y)=log2+log2=log2•=log2

=log2=f()得证．

1

题型：简答题

|

简答题

设函数f（x）=loga（1-x），g（x）=loga（1+x）（a＞0且a≠1），

（1）设F（x）=f（x）-g（x），判断F（x）的奇偶性并证明；

（2）若关于x的方程有两个不等实根，求实数m的范围；

（3）若a＞1且在x∈[0，1]时，f（m-2x）＞g（x）恒成立，求实数m的范围。

正确答案

解：（1），

其中，

∴x∈（-1，1），

，

∴F（x）为奇函数。

（2），

原方程有两个不等实根即有两个不等实根，

其中，

∴，

即在x∈（-1，2）上有两个不等实根。

记，对称轴x=1，

由，解得；

（3），

即a＞1且x∈[0，1]时，恒成立，

∴恒成立，

由①得m＜1；

令，

∴由②得时恒成立，

记，

即；

综上m＜0。

1

题型：简答题

|

简答题

设f(x)=logag(x)(a＞0且a≠1)。

(1)若f(x)在定义域D内是奇函数，求证：g(x)·g(-x)=1；

(2)若g(x)=ax且在[1，3]上，f(x)的最大值是，求实数a的值；

(3)若g(x)=ax2-x，是否存在实数a，使得f(x)在区间I=[2，4]上是减函数？且对任意的x1，x2∈I都有f(x1)＞ax2-2，如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）∵在定义域D内是奇函数，

∴f(x)+f(-x)=0，，即，

∴。

（2）①若a＞1，则在[1，3]上是增函数，则有f(3)=，

∴，

∴a=9；

②若0＜a＜1，则在[1，3]上是减函数，则有f(1)= ，

∴=，解得：a不存在；

综上所述：a=9。

（3）①若a＞1时，要满足题设，则有在[2，4]上是减函数，

∴而函数＞0仅在上是减函数，故a＞1不符合题意；

②若0＜a＜1时，要满足题设，则有在[2，4]上是增函数，并且在[2，4]上成立，∴，∴a＞，

要对任意的x1，x2∈I都有，只要求f(x)的最小值大于的最大值即可。

∵f(x)在区间I=[2，4]上是减函数，

∴==，的最大值为=1，

∴＞1，∴a＜，这与a＞矛盾，舍去；

综上所述：满足题设的实数a不存在。

1

题型：简答题

|

简答题

设p为常数，函数f（x）=log2（1-x）+plog2（1+x）为奇函数．

（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范围；（3）求证：x•f（x）≤0．

正确答案

（1）f（x）=log2（1-x）+plog2（1+x）=log2[（1-x）（1+x）p]，

∵f（x）=log2（1-x）+plog2（1+x）为奇函数，

∴f（-x）=log2[（1+x）（1-x）p]=-f（x）=log2=log2[（1-x）-1（1+x）-p]，

∴，

∴p=-1．

（2）∵p=-1，

∴f（x）=log2，

∵f（x）＞2，

∴，

解得-1＜x＜-，

∴f（x）＞2时x的取值范围是（-1，-）．

（3）∵f（x）=log2，

∴＞0，解得-1＜x＜1．

当-1＜x＜0时，＞1，f（x）=log2＞0，

∴x•f（x）＜0；

当x=0时，=1，f（x）=log2=0，

∴x•f（x）=0；

当0＜x＜1时，＜1，f（x）=log2＜0，

∴x•f（x）＜0．

综上所述，x•f（x）≤0．

1

题型：简答题

|

简答题

已知奇函数f(x)=loga，（a＞0，且a≠1）

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）对于x∈[2，4]f(x)＞loga恒成立，求m的取值范围；

（Ⅲ）当n≥4，且n∈N*时，试比较af（2）+f（3）+…+f（n）与2n-2的大小．

正确答案

（Ⅰ）由f(x)=loga，f(-x)=loga=logaf(x)+f(-x)=loga+loga=loga=0

∴=1恒成立，b2=1，b=±1经检验b=1

（Ⅱ）由x∈[2，4]时，f(x)=loga＞loga恒成立，

①当a＞1时

∴＞＞0对x∈[2，4]恒成立

∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立

设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]

则g（x）=-x3+7x2+x-7g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-)2+

∴当x∈[2，4]时，g'（x）＞0

∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）min=g（2）=15

∴0＜m＜15

②当0＜a＜1时

由x∈[2，4]时，f(x)=loga＞loga恒成立，

∴＜对x∈[2，4]恒成立

∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立

设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]

由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）max=g（4）=45

∴m＞45

综上，当a＞1时，0＜m＜15；

当0＜a＜1时，m＞45

（Ⅲ）∵f(2)+f(3)++f(n)=loga3+loga+loga++loga+loga=loga(3×××××)=loga

∴af(2)+f(3)++f(n)=

当n=2时，=3，2n-2=2，∴af（2）+f（3）++f（n）＞2n-2

当n=3时，=6，2n-2=6，∴af（2）+f（3）++f（n）=2n-2

当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=＜2n-2

下面证明：当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=＜2n-2

当n≥4时，2n-2=Cn0+Cn1+Cn2++Cnn-1+Cnn-2=Cn1+Cn2++Cnn-1＞n++n=＞

∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=＜2n-2

h(4)=-24+2=-4＜0n≥4时，-2n+2＜0，即＜2n-2

∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=＜2n-2．

1

题型：填空题

|

填空题

已知偶函数f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且当x＞O时，f（x）=log2x，则满足f（x）=f（）的所有x之和为______．

正确答案

∵偶函数f（x），令x＜0，则-x＞0

∴f（-x）=log2（-x）

∴f（x）=f（-x）=log2（-x）

∵f（x）=f（）

则x=，得x=1或-6

x=-，得x=-3或-2

∴1-2-3-6=-10

故答案为：-10．

1

题型：填空题

|

填空题

关于函数f(x)=lg(x≠0，x∈R)，有下列结论：

①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；

②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是单调递减函数；

③函数f（x）的最小值为lg2；

④在区间（0，1）上，函数f（x）是单调递减函数，其中正确的是______．

正确答案

观察知函数f(x)=lg(x≠0，x∈R)，是一个对数型函数，其内层函数是一个偶函数，故函数f(x)=lg(x≠0，x∈R)，是偶函数，其图象关于y轴对称，令x＞0，则f（x）=lg=lg（x+）≥lg2且在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．下研究四个选项的正确性；'

①函数y=f（x）的图象关于y轴对称是正确的，因为y=f（x）是偶函数．

②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是单调递减函数是不正确的，由偶函数的性质知f（x）在（-∞，0）上不是单调函数．

③函数f（x）的最小值为lg2是正确的；由偶函数的性质及上面的探究知，函数f（x）的最小值为lg2；

④在区间（0，1）上，函数f（x）是单调递减函数是正确的．

综上知①③④是正确的．

故应填①③④．

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f（x2-3）=lg，

（1）f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性；

（3）若f [φ（x）]=lgx，求φ（3）的值。

正确答案

解：（1）∵f(x2-3)=lg，

∴f(x)=lg，

又由得x2-3＞3，

∴f(x)的定义域为（3，+∞）。

（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，

∴f(x)为非奇非偶函数。

（3）∵，

∴，

解得φ(3)=6。

1

题型：填空题

|

填空题

已知函数f(x)=，则f(f())=______．．

正确答案

解；∵f（）=log3=-1，

∴f（f（））=f（-1）=(

1

2

)-1=2

故答案为：2

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案