- 对数函数
- 共8722题
（1）求f1（x），f2（x）的解析式；
（2）当年产量多少吨时，所获利润最大，并求出最大值．
正确答案
解析
解：（1）设
所以a=0.001，所以
设f2（x）=kx+b，将（0，3），（1000，2）代入可得k=-0.001，b=3，
所以f2（x）=-0.001x+3．
（2）设利润为f（x），则
f（x）=xf2（x）-f1（x）=（0.001x+3）x-0.001x2=-0.002（x-750）2+1125．
所以，当x=750时，f（x）max=1125．
（1）写出该商品的日销售额（单位：元》与时间t的函数关系；（注：日销售额=日销售量×当日价格）
（2）试判断当月哪一天的销售额最大，并求出其最大值．
正确答案
解：（1）根据图象，每件销售价格g（x）与时间t的函数关系为：g（x）=
∴商品的日销售额（单位：元》与时间t的函数关系为
（2）若0≤t＜10，t∈N时，y=-t2+16t+720=-（t-8）2+784，∴当t=8时，ymax=784；
若10≤t≤30，t∈N时，y=t2-76t+1440=（t-28）2+656，∴当t=10时，ymax=780，
∴当t=8时，ymax=784
因此，这种产品在第8天的日销售金额最大，最大日销售金额是784元．
解析
解：（1）根据图象，每件销售价格g（x）与时间t的函数关系为：g（x）=
∴商品的日销售额（单位：元》与时间t的函数关系为
（2）若0≤t＜10，t∈N时，y=-t2+16t+720=-（t-8）2+784，∴当t=8时，ymax=784；
若10≤t≤30，t∈N时，y=t2-76t+1440=（t-28）2+656，∴当t=10时，ymax=780，
∴当t=8时，ymax=784
因此，这种产品在第8天的日销售金额最大，最大日销售金额是784元．
将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了取得最大利润，每个售价应定为多少元？
正确答案
解：设售价在90元的基础上涨x元
因为这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，所以若涨x元，则销售量减少10x，按90元一个能全部售出，则按90+x元售出时，能售出400-10x个，每个的利润是90+x-80=10+x元
设总利润为y元，则y=（10+x）（400-10x）=-10x2+300x+4000，对称轴为x=15
所以x=15时，y有最大值，售价则为105元
所以售价定为每个105元时，利润最大．
解析
解：设售价在90元的基础上涨x元
因为这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，所以若涨x元，则销售量减少10x，按90元一个能全部售出，则按90+x元售出时，能售出400-10x个，每个的利润是90+x-80=10+x元
设总利润为y元，则y=（10+x）（400-10x）=-10x2+300x+4000，对称轴为x=15
所以x=15时，y有最大值，售价则为105元
所以售价定为每个105元时，利润最大．
（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元，该公司应安排员工多少人？
（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月内还清无息贷款？
正确答案
解：（1）当40≤x≤60时，令y=kx+b，
则
解得k=-0.1，b=8，
故y=-0.1x+8，
同理，当60＜x≤80时，y=-0.05x+5．
故y=
（2）设公司可安排员工a人，定价50元时，
由5=（-0.1×50+8）（50-40）-15-0.25a，
得30-15-0.25a=5，解得a=40，
所以公司可安排员工40人；
（3）当40≤x≤60时，
利润w1=（-0.1x+8）（x-40）-15-20=-0.1（x-60）2+5，
则当x=60时，wmax=5万元；
当60＜x＜100时，
w2=（-0.05x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-0.05（x-70）2+10，
∴x=70时，wmax=10万元，
∴要尽早还清贷款，只有当单价x=70元时，获得最大月利润10万元，
设该公司n个月后还清贷款，则10n≥80，
∴n≥8，即n=8为所求．
解析
解：（1）当40≤x≤60时，令y=kx+b，
则
解得k=-0.1，b=8，
故y=-0.1x+8，
同理，当60＜x≤80时，y=-0.05x+5．
故y=
（2）设公司可安排员工a人，定价50元时，
由5=（-0.1×50+8）（50-40）-15-0.25a，
得30-15-0.25a=5，解得a=40，
所以公司可安排员工40人；
（3）当40≤x≤60时，
利润w1=（-0.1x+8）（x-40）-15-20=-0.1（x-60）2+5，
则当x=60时，wmax=5万元；
当60＜x＜100时，
w2=（-0.05x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-0.05（x-70）2+10，
∴x=70时，wmax=10万元，
∴要尽早还清贷款，只有当单价x=70元时，获得最大月利润10万元，
设该公司n个月后还清贷款，则10n≥80，
∴n≥8，即n=8为所求．
（1）用θ表示铁棒的长度L（θ）；
（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值．
正确答案
解：（1）根据题中图形可知，
（2）本题即求L（θ）的最小值．…（5分）
解法一：
令
因为L（t）为减函数，所以
所以铁棒的最大长度为
解法二：因为
=
因为
解析
解：（1）根据题中图形可知，
（2）本题即求L（θ）的最小值．…（5分）
解法一：
令
因为L（t）为减函数，所以
所以铁棒的最大长度为
解法二：因为
=
因为
拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费由
正确答案
解析
解：由[m]是大于或等于m的最小整数可得[5.2]=6．
所以f（5.5）=1.06×（0.5×[5.2]+1）=1.06×4=4.24．
故选：B．
已知函数
（1）若函数在区间
（2）如果当x≥1时，不等式
正确答案
解：（Ⅰ）因为
当0＜x＜1时，f‘（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
∴函数f（x）在x=1处取得极大值．
∵函数f（x）在区间
∴
（Ⅱ）不等式
∴
令h（x）=x-lnx，则
∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，∴[g（x）]min=g（1）=2，
∴a≤2．
由上述知
令x=n（n+1），则
∴
叠加得
则1×22×32×…×n2（n+1）＞en-2，
∴[（n+1）！]2＞（n+1）•en-2（n∈N*）．
解析
解：（Ⅰ）因为
当0＜x＜1时，f‘（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
∴函数f（x）在x=1处取得极大值．
∵函数f（x）在区间
∴
（Ⅱ）不等式
∴
令h（x）=x-lnx，则
∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，∴[g（x）]min=g（1）=2，
∴a≤2．
由上述知
令x=n（n+1），则
∴
叠加得
则1×22×32×…×n2（n+1）＞en-2，
∴[（n+1）！]2＞（n+1）•en-2（n∈N*）．
某工厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数R（x）=
（1）把利润表示为年产量的函数
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？
正确答案
解：（1）∵某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为0.5万元，每生产一百件这样的产品，需要增加可变成本0.25万元，产品售出的数量为x百台，销售的收入函数R（x）=
∴当0≤x≤5时，
L（x）=（
当x＞5时，只能售出5百台，
∴L（x）=（5×5-
综上，L（x）=
（2）∵L（x）=
①当0≤x≤5时，L（x）=
∵抛物线开口向下，对称轴为x=4.75，
∴当x=4.75时，L（x）max=L（4.75）=10.75；
②当x＞5时，L（x）=12-0.25x为R上的减函数，
∴L（x）＜L（5）=10.75．
综合①②，当x=4.75时，L（x）取最大值，
∴年产量为475台时，所利润最大．
（3）∵工厂不亏本时，则L（x）≥0，
当0≤x≤5时，令L（x）=
当x＞5时，令L（x）=12-0.25x≥0，解得5＜x≤48，
∴年产量是0≤x≤48时，工厂才不亏本．
解析
解：（1）∵某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为0.5万元，每生产一百件这样的产品，需要增加可变成本0.25万元，产品售出的数量为x百台，销售的收入函数R（x）=
∴当0≤x≤5时，
L（x）=（
当x＞5时，只能售出5百台，
∴L（x）=（5×5-
综上，L（x）=
（2）∵L（x）=
①当0≤x≤5时，L（x）=
∵抛物线开口向下，对称轴为x=4.75，
∴当x=4.75时，L（x）max=L（4.75）=10.75；
②当x＞5时，L（x）=12-0.25x为R上的减函数，
∴L（x）＜L（5）=10.75．
综合①②，当x=4.75时，L（x）取最大值，
∴年产量为475台时，所利润最大．
（3）∵工厂不亏本时，则L（x）≥0，
当0≤x≤5时，令L（x）=
当x＞5时，令L（x）=12-0.25x≥0，解得5＜x≤48，
∴年产量是0≤x≤48时，工厂才不亏本．
在六安中学第八届校运动会期间，某商店以2元/kg的价格购进100kg苹果，若以2.5元/kg的价格出售，则当天可售完．若售价每增加0.2元（假设加价的最小单位是0.2元）时，苹果就少出售2kg，且苹果的日存储费用为0.1元/kg．
（Ⅰ）当售价为3.3元/kg，求该商店当天获利多少元；
（Ⅱ）当售价定为多少时，该商店当天获利最大？
正确答案
解：（Ⅰ）当售价为3.3元/kg，设该商店当天获利为y元，则
即当售价为3.3元/kg，该商店当天获利为118.8元． …（4分）
（Ⅱ）设当售价为x元/kg时，该商店当天获利为y元，则
当
考虑到加价的最小单位是0.2元，售价不可能是7.2元/kg，所以当x=7.1或x=7.3，此时ymax=270.8元，
即当售价为7.1元/kg或7.3元/kg时，当天获利最大为270.8元．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）当售价为3.3元/kg，设该商店当天获利为y元，则
即当售价为3.3元/kg，该商店当天获利为118.8元． …（4分）
（Ⅱ）设当售价为x元/kg时，该商店当天获利为y元，则
当
考虑到加价的最小单位是0.2元，售价不可能是7.2元/kg，所以当x=7.1或x=7.3，此时ymax=270.8元，
即当售价为7.1元/kg或7.3元/kg时，当天获利最大为270.8元．…（12分）
一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权，根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产x（百套）的销售额R（x）（万元）满足：
R（x）=
（1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？
（2）该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？此时利润是多少万元？
正确答案
解析
解：（1）R（7.5）-1×7.5-2=3.2，（6分）
所以，生产750套此种品牌运动装可获得利润3.2 万元（1分）
（2）由题意，每生产x （百件）该品牌运动装的成本函数G（x）=x+2，
所以，利润函数f（x）=R（x）-G（x）=
当0＜x≤5 时，f（x）=-0.4（x-4）2+3.6，（3分）
故当x=4 时，f（x） 的最大值为3.6． （1分）
当x＞5 时，f（x）=9.7-[（x-3）+
故当x=6 时，f（x） 的最大值为3.7． （1分）
所以，生产600件该品牌运动装利润最大是3.7万元 （1分）
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