- 对数函数
- 共8722题
（2010秋•嵊州市校级月考）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V（t）=
正确答案
5
解析
解：（1）当0＜t≤10时，V（t）=（-t2+14t-40）
化简得t2-14t+40＞0，
∴t＜4或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4．
当10＜t≤12时，V（t）=4（t-10）（3t-41）+50＜50，
化简得（t-10）（3t-41）＜0
∴10
∵10＜t≤12，
∴10＜t≤12
综上得，0＜t＜4或10＜t≤12
故知枯水期为1月、2月、3月、11月、12月共5个月．
故答案为：5．
甲、乙 两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60km/h，已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x（km/h）的平方成正比例，比例系数为
（Ⅰ）将全程的运输成本y（元）表示为速度x（km/h）的函数，并指出函数的定义域；
（Ⅱ）判断此函数的单调性，并求当速度为多少时，全程的运输成本最小．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，汽车全程行驶时间为
所以，所求的函数为
（Ⅱ）设x1，x2是（0，60]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
∵0＜x1＜x2≤60，∴x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以，函数
因此，当x=60时，
故当速度为60km/h时，全程的运输成本最小，最小成本为200元．
解析
解：（Ⅰ）由题意，汽车全程行驶时间为
所以，所求的函数为
（Ⅱ）设x1，x2是（0，60]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
∵0＜x1＜x2≤60，∴x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以，函数
因此，当x=60时，
故当速度为60km/h时，全程的运输成本最小，最小成本为200元．
某场生产某种产品x件的总成本：C（x）=x2+1000（元），且产品单价的平方与产品件数x成反比，已知生产100件这样的产品的单价为50元，则当总利润最大时，产量应定为______件．
正确答案
25
解析
解：设产品单价为p，则有p2=
所以p=p（x）=
设总利润为L，L=L（x）=p（x）-c（x）=
L′（X）=
令L‘（X）=0，得x=25，
因为x=25是函数L（x）在（0，+∞）上唯一的极值点，且是极大值点，从而是最大值点．
故答案为：25
甲图调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．
乙图调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
（Ⅰ）求出全县每个鱼池出产的鳗鱼年平均产量f（x），全县鱼池年总个数g（x）；（其中x为年份）
（Ⅱ）哪一年的规模（即总产量）最大？说明理由，并求出总产量的最大值．
正确答案
解：（I）根据图象可知鳗鱼年平均产量f（x）过点（1，1），（6，2）
从而
鱼池年总个数g（x）过点（1，30），（6，10）
从而 g（x）=-4x+34…（6分）
（II）设年总产量为L（x）则
∵x∈N*
∴x=2时总产量L（x）最大L（x）max=L（2）=31.2（万只）…（11分）
答：第2年规模最大，最大值为31.2万只…（12分）
解析
解：（I）根据图象可知鳗鱼年平均产量f（x）过点（1，1），（6，2）
从而
鱼池年总个数g（x）过点（1，30），（6，10）
从而 g（x）=-4x+34…（6分）
（II）设年总产量为L（x）则
∵x∈N*
∴x=2时总产量L（x）最大L（x）max=L（2）=31.2（万只）…（11分）
答：第2年规模最大，最大值为31.2万只…（12分）
据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）．
（1）试将y表示为x的函数；
（2）若a=1，且x=6时，y取得最小值，试求b的值．
正确答案
解：（1）设点C受A污染源污染程度为
其中k为比例系数，且k＞0，
从而点C处受污染程度
（2）因为a=1，所以，
令y′=0，得
又此时x=6，解得b=8，经验证符合题意；
所以，污染源B的污染强度b的值为8．
解析
解：（1）设点C受A污染源污染程度为
其中k为比例系数，且k＞0，
从而点C处受污染程度
（2）因为a=1，所以，
令y′=0，得
又此时x=6，解得b=8，经验证符合题意；
所以，污染源B的污染强度b的值为8．
某城市自来水厂蓄水池现有水9千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时向全市供水，x小时内供水总量为8
（1）多少小时后，蓄水池内水量最少？
（2）当蓄水池水量少于3千吨时，供水会出现紧张现象，现决定扩大生产，每小时向池内注水3千吨，能否消除供水紧张现象，为什么？
正确答案
解：设x小时后，蓄水池有水y千吨，…（1分）
（1）y=9+2x-8
即4小时后，水量最少；…（9分）
（2）y=9+3x-8
即扩大生产后，蓄水池水量最少是
解析
解：设x小时后，蓄水池有水y千吨，…（1分）
（1）y=9+2x-8
即4小时后，水量最少；…（9分）
（2）y=9+3x-8
即扩大生产后，蓄水池水量最少是
在一个容器为0.3L的水壶里灌满一壶水，水的温度为t1=3℃，由于散热壶内温度每min下降t=0.2℃，为了保持壶内温度不变，可从水龙头给它连续不断地滴入温度为t2=45℃的热水，假设每滴热水的质量m=0.2g．问：每min应滴入多少滴热水才能维持壶内水温不变．（假设壶内热传递极快，热水滴入后水温很快达到一致，多余的水从壶嘴溢出，不计水壶的吸热．
正确答案
解析
解：已知散热壶内温度每min下降t=0.2℃，所以要让水温不变，那么茶杯内的水应该吸收的热量：
Q吸=cm△t=4.2×103J/（kg•℃）×0.3kg×1℃=1.26×103J；
一滴热水降到30℃释放的热量Q′=cm′△t′=4.2×103J/（kg•℃）×0.2×10-3kg×15℃=12.6J；
那么5min内需要滴入热水的滴数为n=
所以每分钟需要滴入
某批发公司批发某商品，每个商品进价80元，批发价120元．该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价每个不能低于100元．
（1）当一次订购量为多少个时，每个商品的实际批发价为100元？
（2）当一次订购量为x（x∈N）个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）根据市场调查发现，经销商一次最大定购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润．
正确答案
解：（1）设一次订购量为100+n（n∈N），
则批发价为120-0.04n，
令120-0.04n=100，解得n=500；
所以当一次订购量为600个时，每件商品的实际批发价为100元；…（5分）
（2）当0≤x≤100时，f（x）=120，
当100＜x≤600时，f（x）=120-0.04（x-100）=124-0.04x，
所以函数P=f（x）=
（3）当经销商一次批发x个零件时，该批发公司可获得利润为y，
根据题意知：当0≤x≤100时，y=40x，
在x=100时，y取得最大值为4000； …（12分）
当100＜x≤500时，y=[40-0.04（x-100）]•x=-0.04x2+44x=-0.04（x-550）2+12100；
所以当x=500时，y取得最大值为12000； …（15分）
答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润．…（16分）
解析
解：（1）设一次订购量为100+n（n∈N），
则批发价为120-0.04n，
令120-0.04n=100，解得n=500；
所以当一次订购量为600个时，每件商品的实际批发价为100元；…（5分）
（2）当0≤x≤100时，f（x）=120，
当100＜x≤600时，f（x）=120-0.04（x-100）=124-0.04x，
所以函数P=f（x）=
（3）当经销商一次批发x个零件时，该批发公司可获得利润为y，
根据题意知：当0≤x≤100时，y=40x，
在x=100时，y取得最大值为4000； …（12分）
当100＜x≤500时，y=[40-0.04（x-100）]•x=-0.04x2+44x=-0.04（x-550）2+12100；
所以当x=500时，y取得最大值为12000； …（15分）
答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润．…（16分）
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元，
①求S关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
正确答案
解：（1）由图象可知，
解得，
所以y=-x+1000（500≤x≤800）．
（2）①由（1）
S=x×y-500y
=（-x+1000）（x-500）
=-x2+1500x-500000，（500≤x≤800）．
②由①可知，S=-（x-750）2+62500，
其图象开口向下，对称轴为x=750，
所以当x=750时，Smax=62500．
即该公司可获得的最大毛利润为62500元，
此时相应的销售单价为750元/件．
解析
解：（1）由图象可知，
解得，
所以y=-x+1000（500≤x≤800）．
（2）①由（1）
S=x×y-500y
=（-x+1000）（x-500）
=-x2+1500x-500000，（500≤x≤800）．
②由①可知，S=-（x-750）2+62500，
其图象开口向下，对称轴为x=750，
所以当x=750时，Smax=62500．
即该公司可获得的最大毛利润为62500元，
此时相应的销售单价为750元/件．
某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f（x）=p•qx；②f（x）=logqx+p；③f（x）=（x-1）（x-q）2+p（以上三式中p、q均为常数，且q＞2）．
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若f（1）=4，f（3）=6，①求出所选函数f（x）的解析式（注：函数的定义域是[1，6]．其中x=1表示4月1日，x=2表示5月1日，…，以此类推）；②为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在哪几个月内价格下跌．
正确答案
解：（1）因为f（x）=pqx，f（x）=logqx+q是单调函数，f（x）=（x-1）（x-q）2+q中，
f′（x）=3x2-（4q+2）+q2+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=
（2）（1）由f（1）=4，f（3）=6，得 
f（x）=x3+9x2+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
（2）由f′（x）=3x2+18x+24＜0得：5≤x≤6，
预测该果品在5、6月份内价格下跌．
解析
解：（1）因为f（x）=pqx，f（x）=logqx+q是单调函数，f（x）=（x-1）（x-q）2+q中，
f′（x）=3x2-（4q+2）+q2+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=
（2）（1）由f（1）=4，f（3）=6，得
f（x）=x3+9x2+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
（2）由f′（x）=3x2+18x+24＜0得：5≤x≤6，
预测该果品在5、6月份内价格下跌．
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