热门试卷

（Ⅰ）最初的质量为500g，

经过1年，ω=500（1-10%）=500×0.91，

经过2年，ω=500×0.92，

…，

由此推出，t年后，ω=500×0.9t．------（5分）

（Ⅱ）解方程500×0.9t=250．

∴0.9t=0.5，∴lg0.9t=lg0.5

∴t==≈6.6，

所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年．------（10分）

（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37，

当2≤x≤12，且x∈N*时，

f（x）=P（x）-P（x-1）=x（x+1）（39-2x）-（x-1）x（41-2x）=-3x2+40x．

验证x=1符合f（x））=-3x2+40x（x∈N*，且1≤x≤12）

（2）该商场预计第x月销售该商品的月利润为：

g（x）=6x3-185x2+1400x（x∈N，1≤x≤6）

g（x）=-480x+6400 （x∈N.7≤x≤12

当1≤x≤6，x∈N时g′（x）=18x2-370x+1400，

令g′（x）=0，解得x=5，x=（舍去）．

当1≤x≤5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，

∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（元）．

当7≤x≤12，x∈N时，g（x）=-480x+6400是减函数，

当x=7时，g（x）的最大值等于g（7）=3040（元），

综上，商场2009年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元．

由题意知：存款量f（x）=kx2，

当利率为0.012时，存款量为1.44亿，

即x=0.012时，y=1.44；

由1.44=k•（0.012）2，得k=10000，

∴f（x）=10000x2，

银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x3，

设银行可获收益为y=贷款收益-利息支出，

则y=480x2-10000x3，

由于y'=960x-30000x2，则y'=0，

即960x-30000x2=0，得x=0或x=0.032．

因为x∈（0，0.032）时，y'＞0，

此时，函数y=480x2-10000x3递增；

x∈（0.032，0.048）时，y'＜0，

此时，函数y=480x2-10000x3递减；

故当x=0.032时，y有最大值，其值约为0.164亿．

解：（1）由,可得　即

记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.

求得 

当时;;当时，

故在x=e处取得极小值，也是最小值，

即，故.

（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。

令g(x)=x-2lnx,则

当时，,当时，

g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。

故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)

故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)

（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。

若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;

若,由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故时，函数的单调递增区间为(,+∞)

单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)

故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。

略

（1）∵发电厂与城市的距离不得小于40km，又∵A，B两城相距100km，

∴x的取值范围为40≤x≤60；

∵供电费用（元）与供电距离（km）的平方和供电量（亿度）之积成正比，比例系数λ=0.9，

又∵A城的供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月

∴y=0.9×20×x2+0.9×10×（100-x）2

化简得：y=27x2-1800x+90000（40≤x≤60）；

（2）由y=27x2-1800x+90000=27(x-)2+60000．

因为对称轴x=不在定义域内

则二次函数在[40，60]上单调递增

所以当x=40米时，y最小．

答：故当发电站建在距A城40千米时，才能使供电总费用最小，最小值为61200元．

（1）根据题意得：d=kv2l，（d≥l），

当v=60，d=1.44l时，

代入解得：k==0.0004，

∵d≥l，∴0.0004v2l≥l

则v≥50，故最低车速为50km/h．

（2）因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为l+d（m）

一小时内通过汽车的数量为Q最大，只需最小，由（1）知Q=即Q=≤

当=0.0004v等号成立，即v=50km/h，Q取到最大值

∴在交通繁忙时，应规定车速为50km/h，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多

（1）Q型车每月的销售量{an}是以首项a1=a，公比q=1+1%=1.01的等比数列；

前n个月的销售总量Sn==100a（1.01n-1）（n∈N*，且n≤24）．

（2）∵Sn-Tn=100a（1.01n-1）-228a（1.012n-1）=100a（1.01n-1）-228a（1.01n-1）（1.01n+1）=-228a（1.01n-1）•（1.01n+）．

又1.01n-1＞0，1.01n+＞0，∴Sn＜Tn．

（3）记Q、R两款车第n个月的销量分别为an和bn，

则an=a×1.01n-1．

当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=228a（1.012n-1）-228a（1.012n-2-1）=228a×（1.012-1）×1.012n-2=4.5828a1.012n-2．

b1=4.5828a（或228×0.0201a），显然20%×b1＜a1．

当n≥2时，若an＜20%×bn，

即a×1.01n-1＜×4.5828a×1.012n-2，

1.012（n-1）＞×1.01n-1，1.01n-1＞≈1.09，n-1＞≈8.66．

∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．