对数函数_章节学习

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题型：填空题

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填空题

设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则 .

正确答案

－3

.

1

题型：简答题

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简答题

某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在末扣除技术资金的情况下，第n年（2011年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）

（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；

（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)

已知

（1）若的图象有与轴平行的切线，求的取值范围；

（2）若在时取得极值，且恒成立，求的取值范围．

正确答案

（1）,由己知有实数解，∴，故

（2）由题意是方程的一个根，设另一根为

则，∴…………2分

∴，

当时，；

当时，；当时，

∴当时，有极大值；又，，

即当时，的最大值为

∵对时，恒成立，∴，∴或

故的取值范围是

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用表示某鱼群在第年初的总量，，且。不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正数其中称为捕捞强度。

（1）求与的关系式；

（2）设，为了保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论。

正确答案

解：（1）从第年初到从第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，依题意

即

（2）若的值使得，由，知特别地有，即而，所以，以下去证当时，恒有，由此确定的允许最大值是1。

①当时，结论显然成立。

②假设当时结论成立，即。

则当时，

因为，所以。

故当时结论也成立。

由①②可知对于任意恒有

综上，为了保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是1

略

1

题型：填空题

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填空题

已知实数x、y满足三个不等式：则xy的最大值是。

正确答案

3

略

1

题型：填空题

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填空题

已知函数＝　　　　　。

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数(其中且,为实数常数)．

（1）若，求的值(用表示)；

（2）若且对于恒成立，求实数m的取值范围(用表示)．

正确答案

（1）（2）m的取值范围是

（1）当时,当时,. …………….2分

由条件可知，,即解得…………6分

∵ …………..8分

（2）当时, ……………10分

即 ……13分

故m的取值范围是 …………….16分

1

题型：简答题

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简答题

（本题12分）已知函数

（1）当=2时，求的零点；

（2）若是的极值点，求的[1，]上的最小值和最大值；

（3）若在上是增函数，求实数的取值范围。

正确答案

解：（1）

的零点为0，3，-1。

（2）

是的极值点

a="4 "

f（x）在递减，递增

f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12

最小值为-18，最大值为-6

（3）

在上是增函数

恒成立

记

略

1

题型：填空题

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填空题

为估计一圆柱形烧杯A底面积的大小，做以下实验：在一个底面边长为a的正四棱柱容器B中装有一定量的白色小球子，现用烧杯A盛满黑色小珠子（珠子与杯口平齐），将其倒入容器B中，并充分混合，此时容器B中小珠子的深度刚好为a（两种颜色的小珠子大小形状完全相同，且白色的多于黑色的）现从容器B中随机取出100个小珠子，清点得黑色小珠子有25个．若烧杯A的高度为h，于是可估计此烧杯的底面积S约等于______．

正确答案

由题意，从容器B中随机取出100个小珠子，清点得黑色小珠子有25个，∴概率为

∴=，∴S=

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知，，.

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积；

（Ⅲ）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）当.…（1分）

……（3分）

∴的单调递增区间为（0，1），

单调递减区间为：，. ……（4分）

（2）切线的斜率为，

∴切线方程为.……（6分）

所求封闭图形面积为

. ……（8分）

（3）， ……（9分）

令. ……（10分）

若，，则在R上单调递减，不存在极大值，舍去；

若

列表如下：

由表可知，. ……（12分）

设，

∴上是增函数，……（13分）

∴，即，

∴不存在实数a，使极大值为3. ……（14分）

略

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