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题型:填空题
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填空题

在下列函数中: ①;②;③;④;⑤其中;⑥.其中最小值为2的函数是      (填入序号 ).

正确答案

①③④⑥ 

试题分析:因为对于①那么可以变形为,故可知不等式能取得最小值2.;对于②,当且仅当x=2成立,故满足题意;当x<0不成立,错误

对于③成立

对于④;对于⑤其中;变量为负数没有最小值,错误对于⑥成立,故填写①③④⑥ 

点评:解决的关键是根据均值不等式得一正二定三相等的思想来求解,属于基础题。

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题型:简答题
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简答题

已知函数,若f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-6=0

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;

(Ⅱ)若对任意的,都有f(x)成立,求函数g(t)的最值

正确答案

答:①;②t=最小值,t=3最大值10。

试题分析:答:①,………2分

………4分

②列表如下:

f(x)=2   8分

对任意的都有f(x)成立,

f(x)="2"    10分

g(t)(),

t=最小值,t=3最大值10   12分

点评:中档题,此类问题较为典型,是导数应用的基本问题。在某区间,导函数值非负,函数为增函数,导函数值非正,函数为减函数。求最值应遵循“求导数,求驻点,计算极值及端点函数值,比较确定最值”。不等式恒成立问题,往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得到解决。本题利用“表解法”,清晰、直观、易懂。

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题型:填空题
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填空题

函数___________.

正确答案

解:因为,因此

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)

某单位建造一间地面面积为12 平方米的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过米 ,房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用.(1)把房屋总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域;(2)当侧面的长度为多少时,总造价最低?最低造价是多少?

正确答案

(1)          ……………………………..3分

该函数的定义域  ………………………………..4分

(2)当时, 侧面的长度为4米时,                

总造价最低 ,最低造价是13000元  ……………………………….7分

时, 侧面的长度为米时, 总造价最低 ,

最低造价是元      ………………………11分

答:  …………………………………………………………………………………12分

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题型:简答题
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简答题

已知函数的定义域为,若上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若上为增函数,则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为.

(Ⅰ)已知函数,若,求实数的取值范围;

(Ⅱ)已知的部分函数值由下表给出,

 求证:

(Ⅲ)定义集合

请问:是否存在常数,使得,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由.

正确答案

(I)(Ⅱ)见解答(Ⅲ).

试题分析:(I)理解的意义,代入后利用函数的性质求解; (Ⅱ)通过表格得到 ,再运用为增函数建立不等式,导出,运用 即可. (Ⅲ)判断 即运用反证法证明,如果使得则利用为增函数一定可以找到一个,使得成立;同样用反证法证明证明上无解;从而得到成立,即存在常数,使得,有成立,选取一个符合条件的函数判断 的最小值是 ,由上面证明结果确定 即是符合条件的所有函数的结果.

试题解析:(I)因为

是增函数,所以        2分

不是增函数,而 

是增函数时,有,所以当不是增函数时,.

综上得       4分

(Ⅱ) 因为,且 

所以

所以

同理可证

三式相加得 

所以                                                    6分

因为所以 

,所以 

所以                                          8分

(Ⅲ) 因为集合 且存在常数 ,使得任取 

所以,存在常数 ,使得  对成立

我们先证明成立

假设使得

 

因为是二阶增函数,即是增函数.

所以当时,,所以 

所以一定可以找到一个,使得 

这与  对成立矛盾                                11分

成立

所以成立

下面我们证明上无解

假设存在,使得

则因为是二阶增函数,即是增函数

一定存在,这与上面证明的结果矛盾

所以上无解

综上,我们得到成立

所以存在常数,使得,有成立

又令,则成立,

又有上是增函数,所以

而任取常数,总可以找到一个,使得时,有 

所以的最小值为.                                         14分

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题型:简答题
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简答题

已知m∈R,对p:x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立;q:函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点.求使“p且q”为假命题、“p或q”为真命题的实数m的取值范围.

正确答案

试题分析:解:由题设知x1+x2=a,x1x2=-2,

∴|x1-x2|==.    

a∈[1,2]时,的最小值为3,要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立,只需|m-5|≤3,即2≤m≤8.        

由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判别式Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,得m<-1或m>4,       

综上,要使“p且q”为假命题、“p或q”为真命题,只需p真q假或p假q真,即 或 解得实数m的取值范围是.   

点评:逻辑联结词有三个:且、或和非。在且命题中,只有两个命题都为真时,且命题才为真,而在或命题中,只要一个命题为真时,或命题就为真。

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题型:填空题
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填空题

二次函数的值域为[0,+),则的最小

值为   ______________

正确答案

4

试题分析:根据题意,由于二次函数的值域为[0,+),说明开口向上a>0,且最小值为0,说明了 ,那么=,当且仅当a=c=1时取得等号,故答案为4.

点评:考查了二次函数的性质和不等式的综合运用,属于中档题。

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题型:填空题
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填空题

函数f (x)=∣4x-x2∣-a的零点的个数为3,则a=       

正确答案

4

试题分析:令函数f(x)=|x2-4x|-a=0,可得|x2-4x|=a.由于函数f(x)=|x2-4x|-a的零点个数为3,故函数y=|x2-4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点,

如图所示:故a=4.故答案为 4.

点评:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了化归与转化及数形结合的数学思想,属于中档题.

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题型:填空题
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填空题

在平面直角坐标系中,函数)的图像与轴交于点,它的反函数的图像与轴交于点,并且这两个函数的图像交于点.若四边形的面积是,则___________.

正确答案

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题型:填空题
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填空题

,,则的取值范围是_________________.

正确答案

(或

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