- 对数函数
- 共8722题
在下列函数中: ①;②
;③
;④
;⑤
其中
且
;⑥
.其中最小值为2的函数是 (填入序号 ).
正确答案
①③④⑥
试题分析:因为对于①那么可以变形为
,故可知不等式能取得最小值2.;对于②
,当且仅当x=2成立,故满足题意;当x<0不成立,错误
对于③成立
对于④;对于⑤
其中
且
;变量为负数没有最小值,错误对于⑥
成立,故填写①③④⑥
点评:解决的关键是根据均值不等式得一正二定三相等的思想来求解,属于基础题。
已知函数,若f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-6=0
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对任意的,都有f(x)
成立,求函数g(t)
的最值
正确答案
答:①;②t=
最小值
,t=3最大值10。
试题分析:答:①,
………2分
………4分
②列表如下:
f(x)=2 8分
对任意的都有f(x)
成立,
f(x)="2"
,
10分
g(t)(
),
t=最小值
,t=3最大值10 12分
点评:中档题,此类问题较为典型,是导数应用的基本问题。在某区间,导函数值非负,函数为增函数,导函数值非正,函数为减函数。求最值应遵循“求导数,求驻点,计算极值及端点函数值,比较确定最值”。不等式恒成立问题,往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得到解决。本题利用“表解法”,清晰、直观、易懂。
函数则
___________.
正确答案
解:因为,因此
(本小题满分12分)
某单位建造一间地面面积为12 平方米的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过米 ,房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用.(1)把房屋总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域;(2)当侧面的长度为多少时,总造价最低?最低造价是多少?
正确答案
(1) ……………………………..3分
该函数的定义域 ………………………………..4分
(2)当时, 侧面的长度为4米时,
总造价最低 ,最低造价是13000元 ……………………………….7分
当时, 侧面的长度为
米时, 总造价最低 ,
最低造价是元 ………………………11分
答: …………………………………………………………………………………12分
略
已知函数的定义域为
,若
在
上为增函数,则称
为“一阶比增函数”;若
在
上为增函数,则称
为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为
,所有“二阶比增函数”组成的集合记为
.
(Ⅰ)已知函数,若
且
,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)已知,
且
的部分函数值由下表给出,
求证:;
(Ⅲ)定义集合
请问:是否存在常数,使得
,
,有
成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,说明理由.
正确答案
(I)(Ⅱ)见解答(Ⅲ)
.
试题分析:(I)理解且
的意义,代入后利用函数的性质求解; (Ⅱ)通过表格得到
,再运用
为增函数建立不等式,导出
,运用
即可. (Ⅲ)判断
即运用反证法证明
,如果
使得
则利用
即
为增函数一定可以找到一个
,使得
,
对
成立;同样用反证法证明证明
在
上无解;从而得到
,
对
成立,即存在常数
,使得
,
,有
成立,选取一个符合条件的函数
判断
的最小值是
,由上面证明结果确定
即是符合条件的所有函数的结果.
试题解析:(I)因为且
,
即在
是增函数,所以
2分
而在
不是增函数,而
当是增函数时,有
,所以当
不是增函数时,
.
综上得 4分
(Ⅱ) 因为,且
所以,
所以,
同理可证,
三式相加得
所以 6分
因为所以
而,所以
所以 8分
(Ⅲ) 因为集合 且存在常数
,使得任取
所以,存在常数
,使得
对
成立
我们先证明对
成立
假设使得
,
记
因为是二阶增函数,即
是增函数.
所以当时,
,所以
所以一定可以找到一个,使得
这与 对
成立矛盾 11分
对
成立
所以,
对
成立
下面我们证明在
上无解
假设存在,使得
,
则因为是二阶增函数,即
是增函数
一定存在,这与上面证明的结果矛盾
所以在
上无解
综上,我们得到,
对
成立
所以存在常数,使得
,
,有
成立
又令,则
对
成立,
又有在
上是增函数,所以
,
而任取常数,总可以找到一个
,使得
时,有
所以的最小值为
. 14分
已知m∈R,对p:x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立;q:函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点.求使“p且q”为假命题、“p或q”为真命题的实数m的取值范围.
正确答案
试题分析:解:由题设知x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
a∈[1,2]时,的最小值为3,要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立,只需|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判别式Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,得m<-1或m>4,
综上,要使“p且q”为假命题、“p或q”为真命题,只需p真q假或p假q真,即 或
解得实数m的取值范围是
.
点评:逻辑联结词有三个:且、或和非。在且命题中,只有两个命题都为真时,且命题才为真,而在或命题中,只要一个命题为真时,或命题就为真。
二次函数的值域为[0,+
),则
的最小
值为 ______________ .
正确答案
4
试题分析:根据题意,由于二次函数的值域为[0,+
),说明开口向上a>0,且最小值为0,说明了
,那么
=
,当且仅当a=c=1时取得等号,故答案为4.
点评:考查了二次函数的性质和不等式的综合运用,属于中档题。
函数f (x)=∣4x-x2∣-a的零点的个数为3,则a= .
正确答案
4
试题分析:令函数f(x)=|x2-4x|-a=0,可得|x2-4x|=a.由于函数f(x)=|x2-4x|-a的零点个数为3,故函数y=|x2-4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点,
如图所示:故a=4.故答案为 4.
点评:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了化归与转化及数形结合的数学思想,属于中档题.
在平面直角坐标系中,函数
(
)的图像与
轴交于点
,它的反函数
的图像与
轴交于点
,并且这两个函数的图像交于点
.若四边形
的面积是
,则
___________.
正确答案
略
若,
,则
的取值范围是_________________.
正确答案
(或
等
略
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