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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=log(a>0,a≠1)的图象关于原点对称.

(1)求m的值;

(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明;

(3)当a>1,x∈(t,a)时,f(x)的值域是(1,+∞)求a与t的值.

正确答案

解:(1)因为函数f(x)=loga(a>0,a≠1)的图象关于原点对称,即f(x)为奇函数,则

f(﹣x)+f(x)=0,

loga+loga=loga=0,

=1,

解可得,m=1或m=﹣1,

当m=1时,=﹣1<0,不合题意,舍去;

当m=﹣1时,=,符合题意,

故m=﹣1;

(2)当0<a<1时,loga>0,即f(x2)﹣f(x1)>0,

此时f(x)为增函数,

当a>1时,loga<0,即f(x2)﹣f(x1)<0,

此时f(x)为减函数,证明如下

由(1)得m=﹣1,则f(x)=loga,任取1<x1<x2,则

f(x2)﹣f(x1)=loga﹣loga=loga

又由1<x1<x2,则0<<1,

当0<a<1时,loga>0,即f(x2)﹣f(x1)>0,

此时f(x)为增函数,

当a>1时,loga<0,即f(x2)﹣f(x1)<0,

此时f(x)为减函数,

(3)由(1)知,f(x)=loga>0,解可得,x>1或x<﹣1,则

f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),

故(t,a)必然含于(﹣∞,﹣1)或(1,+∞),

由a>1,可知(t,a)(- ∞,﹣1)不成立,则必有(t,a)(1,+∞),

此时,f(x)的值域为(1,+∞),

又由函数f(x)为减函数,必有f(a)=1且=0;

解可得,t=﹣1,a=1+

故t=﹣1,a=1+

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题型:简答题
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简答题

已知

(Ⅰ)求f(x)的定义域;

(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性;

(Ⅲ)求使f(x)>0的x的取值范围.

正确答案

解:(Ⅰ)∵已知

>0,即  <0,解得﹣1<x<1,

故f(x)的定义域为(﹣1,1).

(Ⅱ)∵f(x)的定义域关于原点对称,f(﹣x)==﹣=﹣f(x),

故函数f(x)是奇函数.

(Ⅲ)由f(x)>0可得 >1,即<0,解得 0<x<1,故求使f(x)>0的x的取值范围是(0,1).

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题型:填空题
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填空题

在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg、火箭(除燃料外)的质量mkg的函数关系是.当燃料质量是火箭质量的(    )倍时,火箭的最大速度可达12km/s.

正确答案

e6﹣1

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=log2(ax2+2x﹣3a).

(Ⅰ)当a=﹣1时,求该函数的定义域和值域;

(Ⅱ)如果f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立,求实数a的取值范围.

正确答案

解:(1)当a=﹣1时,f(x)=log2(ax2+2x﹣3a).

令﹣x2+2x+3>0,解得﹣1<x<3

所以函数f(x)的定义域为(﹣1,3).

令t=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,则0<t≤4

所以f(x)=log2t≤log24=2

因此函数f(x)的值域为(﹣∞,2]

(2)f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立等价于ax2+2x﹣3a﹣2≥0在区间[2,3]上恒成立

由ax2+2x﹣3a﹣2≥0且x∈[2,3]时,x2﹣3>0,得

,则h'(x)=

所以h(x)在区间[2,3]上是增函数,

所以h(x)max=h(3)=﹣

因此a的取值范围是[﹣,+∞).

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题型:简答题
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简答题

已知函数

(1)当时,求函数的定义域;

(2)若关于x的不等式的解集是,求的取值范围.

正确答案

解:(1)由题设知:

不等式的解集是以下不等式组解集的并集:,或

解得函数的定义域为;    

(2)不等式

∵x∈R时,恒有

∵不等式解集是R,

的取值范围是.            

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题型:简答题
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简答题

已知函数y=的定义域为集合A,函数y=log2(x2-4x+12)的值域为集合B,

(1) 求出集合A,B;

(2) 求A∩CRB,CRA∪CRB.

正确答案

(1)由(2+x)(3-x)>0解得A=(-2,3),(3分)

由y=log2[(x-2)2+8]≥log28=3,可得B=[3,+∞).(6分)

(2)∵CRB=(-∞,3),∴A∩CRB=(-2,3);(10分)

又CRA=(-∞,-2]∪[3,+∞),所以CRA∪CRB=R.(14分)

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题型:简答题
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简答题

某个体户计划经销A、B两种商品,据调查统计,当投资额为x(x≥0)万元时,在经销A、B商品中所获得的收益分别为的(x)万元与g(x)万元、其中的(x)=a(x-1)+2(a>0);g(x)=6ln(x+b),(b>0)已知投资额为零时,收益为零.

(1)试求出a、b的值;

(2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大收益,并求出其收入的最大值.(精确到0.1,参考数据:ln3≈1.10).

正确答案

(1)根据问题的实际意义,可知f(0)=0,g(0)=0

即:

(2)由(1)的结果可得:f(x)=2x,g(x)=66n(x+1)依题意,可设投入B商品的资金为x万元(0<x≤九),则投入A商品的资金为九-x万元,若所获得的收入为s(x)万元,则有s(x)=2(九-x)+66n(x+1)=66n(x+1)-2x+10(0<x≤九)∵s(x)=-2,令s′(x)=0,得x=2

当x<2时,s′(x)>0;当x>2时,s′(x)<0;

∴x=2是s(x)在区间[0,九]上的唯你极大值点,此时s(x)取得最大值:

S(x)=s(2)=66n3+6≈12.6(万元),此九-x=3(万元)

答该个体户可对A商品投入3万元,对B商品投入2万元,这样可以获得12.6万元的最大收益.

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题型:填空题
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填空题

函数y=的定义域为______.

正确答案

要使函数y=的解析式有意义,

自变量必须满足:

解得:0<x<7

故函数y=的定义域为(0,7)

故答案为:(0,7)

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题型:简答题
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简答题

函数f(x)=ln(1+2x+a•4x)的定义域为(-∞,1],求实数a的取值范围.

正确答案

f(x)=ln(1+2x+a•4x)的定义域为(-∞,1],则x≤1时函数

g(x)=1+2x+a•4x>0恒成立,所以a>-(

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4

)x-(

1

2

)x

函数y=-(

1

4

)x-(

1

2

)x=-[(

1

2

)x+

1

2

]2+,设t=(

1

2

)x,则t≥,此时函数y=-(t+

1

2

)2+在t≥,上单调递减,

所以y≤-(

1

2

+

1

2

)2+=-,此时x=1.

所以a>-

实数a的取值范围(-,+∞).

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题型:简答题
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简答题

求下列函数的定义域:

(1);(2)

正确答案

解:(1)由,得x<4,且x≠3,故函数的定义域为

(2)由,即,得1<x<3且x≠2,

故函数的定义域为

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