- 对数函数
- 共8722题
已知函数f(x)=loga (a>0,a≠1)的图象关于原点对称.
(1)求m的值;
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明;
(3)当a>1,x∈(t,a)时,f(x)的值域是(1,+∞)求a与t的值.
正确答案
解:(1)因为函数f(x)=loga(a>0,a≠1)的图象关于原点对称,即f(x)为奇函数,则
f(﹣x)+f(x)=0,
loga+loga
=loga
=0,
即=1,
解可得,m=1或m=﹣1,
当m=1时,=﹣1<0,不合题意,舍去;
当m=﹣1时,=
,符合题意,
故m=﹣1;
(2)当0<a<1时,loga>0,即f(x2)﹣f(x1)>0,
此时f(x)为增函数,
当a>1时,loga<0,即f(x2)﹣f(x1)<0,
此时f(x)为减函数,证明如下
由(1)得m=﹣1,则f(x)=loga,任取1<x1<x2,则
f(x2)﹣f(x1)=loga﹣loga
=loga
,
又由1<x1<x2,则0<<1,
当0<a<1时,loga>0,即f(x2)﹣f(x1)>0,
此时f(x)为增函数,
当a>1时,loga<0,即f(x2)﹣f(x1)<0,
此时f(x)为减函数,
(3)由(1)知,f(x)=loga,
>0,解可得,x>1或x<﹣1,则
f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
故(t,a)必然含于(﹣∞,﹣1)或(1,+∞),
由a>1,可知(t,a)(- ∞,﹣1)不成立,则必有(t,a)
(1,+∞),
此时,f(x)的值域为(1,+∞),
又由函数f(x)为减函数,必有f(a)=1且=0;
解可得,t=﹣1,a=1+;
故t=﹣1,a=1+.
已知.
(Ⅰ)求f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)求使f(x)>0的x的取值范围.
正确答案
解:(Ⅰ)∵已知,
∴>0,即
<0,解得﹣1<x<1,
故f(x)的定义域为(﹣1,1).
(Ⅱ)∵f(x)的定义域关于原点对称,f(﹣x)==﹣
=﹣f(x),
故函数f(x)是奇函数.
(Ⅲ)由f(x)>0可得 >1,即
<0,解得 0<x<1,故求使f(x)>0的x的取值范围是(0,1).
在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg、火箭(除燃料外)的质量mkg的函数关系是.当燃料质量是火箭质量的( )倍时,火箭的最大速度可达12km/s.
正确答案
e6﹣1
已知函数f(x)=log2(ax2+2x﹣3a).
(Ⅰ)当a=﹣1时,求该函数的定义域和值域;
(Ⅱ)如果f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立,求实数a的取值范围.
正确答案
解:(1)当a=﹣1时,f(x)=log2(ax2+2x﹣3a).
令﹣x2+2x+3>0,解得﹣1<x<3
所以函数f(x)的定义域为(﹣1,3).
令t=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,则0<t≤4
所以f(x)=log2t≤log24=2
因此函数f(x)的值域为(﹣∞,2]
(2)f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立等价于ax2+2x﹣3a﹣2≥0在区间[2,3]上恒成立
由ax2+2x﹣3a﹣2≥0且x∈[2,3]时,x2﹣3>0,得
令,则h'(x)=
所以h(x)在区间[2,3]上是增函数,
所以h(x)max=h(3)=﹣
因此a的取值范围是[﹣,+∞).
已知函数.
(1)当时,求函数
的定义域;
(2)若关于x的不等式的解集是
,求
的取值范围.
正确答案
解:(1)由题设知:,
不等式的解集是以下不等式组解集的并集:,或
,
或
解得函数的定义域为
;
(2)不等式即
,
∵x∈R时,恒有
∵不等式解集是R,
的取值范围是
.
已知函数y=的定义域为集合A,函数y=log2(x2-4x+12)的值域为集合B,
(1) 求出集合A,B;
(2) 求A∩CRB,CRA∪CRB.
正确答案
(1)由(2+x)(3-x)>0解得A=(-2,3),(3分)
由y=log2[(x-2)2+8]≥log28=3,可得B=[3,+∞).(6分)
(2)∵CRB=(-∞,3),∴A∩CRB=(-2,3);(10分)
又CRA=(-∞,-2]∪[3,+∞),所以CRA∪CRB=R.(14分)
某个体户计划经销A、B两种商品,据调查统计,当投资额为x(x≥0)万元时,在经销A、B商品中所获得的收益分别为的(x)万元与g(x)万元、其中的(x)=a(x-1)+2(a>0);g(x)=6ln(x+b),(b>0)已知投资额为零时,收益为零.
(1)试求出a、b的值;
(2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大收益,并求出其收入的最大值.(精确到0.1,参考数据:ln3≈1.10).
正确答案
(1)根据问题的实际意义,可知f(0)=0,g(0)=0
即:,
(2)由(1)的结果可得:f(x)=2x,g(x)=66n(x+1)依题意,可设投入B商品的资金为x万元(0<x≤九),则投入A商品的资金为九-x万元,若所获得的收入为s(x)万元,则有s(x)=2(九-x)+66n(x+1)=66n(x+1)-2x+10(0<x≤九)∵s(x)=-2,令s′(x)=0,得x=2
当x<2时,s′(x)>0;当x>2时,s′(x)<0;
∴x=2是s(x)在区间[0,九]上的唯你极大值点,此时s(x)取得最大值:
S(x)=s(2)=66n3+6≈12.6(万元),此九-x=3(万元)
答该个体户可对A商品投入3万元,对B商品投入2万元,这样可以获得12.6万元的最大收益.
函数y=的定义域为______.
正确答案
要使函数y=的解析式有意义,
自变量必须满足:
解得:0<x<7
故函数y=的定义域为(0,7)
故答案为:(0,7)
函数f(x)=ln(1+2x+a•4x)的定义域为(-∞,1],求实数a的取值范围.
正确答案
f(x)=ln(1+2x+a•4x)的定义域为(-∞,1],则x≤1时函数
g(x)=1+2x+a•4x>0恒成立,所以a>-(
1
4
)x-(
1
2
)x;
函数y=-(
1
4
)x-(
1
2
)x=-[(
1
2
)x+
1
2
]2+,设t=(
1
2
)x,则t≥,此时函数y=-(t+
1
2
)2+在t≥
,上单调递减,
所以y≤-(
1
2
+
1
2
)2+=-
,此时x=1.
所以a>-.
实数a的取值范围(-,+∞).
求下列函数的定义域:
(1);(2)
。
正确答案
解:(1)由,得x<4,且x≠3,故函数的定义域为
;
(2)由,即
,得1<x<3且x≠2,
故函数的定义域为。
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